センター数学IA '08年第1問
[1] 長方形ABCDにおいて、
，
とする。辺AB上に点P，辺BC上に点Q，辺CD上に点Rを 
となるようにとり、
とおく(
)。このとき、台形PBCRの面積は
である。また、△PQRの面積Sは
である。
となるxの範囲は
である。
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解答 上底：
，下底：
，高さ：12より、台形PBCRの面積は、
(ア) 4 (イ) 8 ......[答]
△BPQの面積：
，△QCRの面積：
より、△PQRの面積Sは、
(ウ) 1 (エ) 0 (オ) 4 (カ) 8 ......[答]
より、
∴ 
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[2] 次の
〜
に当てはまるものを、下の
〜
のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。 自然数m，nについて、条件p，q，rを次のように定める。p：
は2で割り切れるq：nは4で割り切れるr：mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる
また、条件pの否定を
，条件rの否定を
で表す。このとき
pはrであるための
。
は
であるための
。
「pかつq」はrであるための
。
「pまたはq」はrであるための
。 必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件でない
十分条件であるが、必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない
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解答 この程度の設定であれば、「必要条件」、「十分条件」、「かつ」、「または」、「否定」(条件・命題を参照)が理解できている方は、反例がすぐに浮かぶかどうかで、カンで答えてしまっても構わないと思います。
以下、i，j，m，nを整数とします。
p ⇒ rは、
という反例があるから不成立。
r ⇒ pは、
，
のとき、
は2で割り切れるから成立。よって、pはrであるための必要条件だが十分条件でない。
(ケ) ......[答]
ということは、対偶を考えて、
⇒
は成立、
⇒
は不成立。よって、
は
であるための十分条件だが必要条件でない。
(コ) ......[答]
「pかつq」⇒ rは、
，かつ、
として、
だから、mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れるので成立。
r ⇒「pかつq」は、
，
のとき、
は2で割り切れ、かつ、nは4で割り切れるから成立。よって、「pかつq」はrであるための必要十分条件。
(サ) ......[答]
「pまたはq」⇒ rは、pが偽でqのみ真のとき、
，
という反例があるから不成立。
r ⇒「pまたはq」は、r ⇒「pかつq」が成立するから、成立(注．「pかつq」⇒「pまたはq」は必ず真)。よって、「pまたはq」はrであるための必要条件だが十分条件でない。
(シ) ......[答]
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