センター数学IA '08年第4問
さいころを3回投げ、次の規則にしたがって文字の列を作る。ただし、何も書かれていないときや文字が1つだけのときも文字の列と呼ぶことにする。
1回目は次のようにする。
・出た目の数が1，2のときは、文字Aを書く
・出た目の数が3，4のときは、文字Bを書く
・出た目の数が5，6のときは、何も書かない
2回目、3回目は次のようにする。
・出た目の数が1，2のときは、文字の列の右側に文字Aを1つ付け加える
・出た目の数が3，4のときは、文字の列の右側に文字Bを1つ付け加える
・出た目の数が5，6のときは、いちばん右側の文字を削除する。ただし、何も書かれていないときはそのままにする
以下の問いでは、さいころを3回投げ終わったときにできる文字の列について考える。
(1) 文字の列がAAAとなるさいころの目の出方は
通りである。 文字の列がABとなるさいころの目の出方は
通りである。
(2) 文字の列がAとなる確率は
であり、何も書かれていない文字の列となる確率は
である。
(3) 文字の列の字数が3となる確率は
であり、字数が2となる確率は
である。また、文字の列の字数の期待値は
である。ただし、何も書かれていないときの字数は0とする。
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解答 全事象の場合の数は、6×6×6＝216通りです(確率を参照)。
(1) AAAとなるのは、3回とも1か2が出た場合で、その出方は、2×2×2＝8通り。
(ア) 8 ......[答]
文字の列がABとなるのは、1回目に5か6，2回目に1か2，3回目に3か4が出た場合で、その出方は、2×2×2＝8通り。
(イ) 8 ......[答]
(2) 文字の列がAとなるのは、2回目に5か6，3回目に1か2が出る(確率は、
)か、あるいは、1回目に1か2が出て、2回目に1〜4のどれかが出て、3回目に5か6が出る(確率は、
)か、のいずれかの場合で、その確率は、
(ウ) 5 (エオ) 27 ......[答]何も書かれていない文字の列となるのは、2回目と3回目に5か6が出る(確率は、
)か、1回目と3回目に5か6が出る(確率は
)か、のいずれかの場合ですが、両者にはともに、3回とも5か6が出る場合(確率は、
)が含まれるので、重複する場合を除いて、求める確率は、
(カ) 5 (キク) 27 ......[答]
(3) 文字数が3になるのは、3回とも1〜4が出た場合で、その確率は、
(ケ) 8 (コサ) 27 ......[答]文字数が2になるのは、1回目に5か6が出て、2回目と3回目に1〜4が出た場合で、その確率は、
(シ) 4 (スセ) 27 ......[答]文字数が0になる確率は、(2)より
(2)より、文字列がAとなる確率が
なので、Bとなる確率も
文字数が1になる確率は、
求める期待値は、
(ソタ) 14 (チ) 9 ......[答]
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