確率

確率　　　関連問題

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サイコロを振ると、1か2か3か4か5か6の目が出ます。それぞれの目が出る割合は何度振っても変わりません。このように同じ割合で、ある結果が起こることが期待される実験を試行と言います。
試行の結果起こるできごとを事象と言います。
1の目が出る事象、2の目が出る事象、･･･、6の目が出る事象、すべて合わせて、全事象と言います。
1の目が出る事象、2の目が出る事象、など、1つ1つの事象を全事象に対して、根元事象と言います。

サイコロを振るという試行に対して、各事象を出る目の数で表すことにすると、全事象を全体集合

として考えることができます。事象は全体集合の部分集合、根元事象は全体集合の要素の1つだけを持つ集合

，

，･･･，

と考えることができます。
空集合

に対する事象を空事象と言います。

サイコロを振るという試行では、1から6までの目の出る割合は同じです。6万回振れば、1から6までの目はほぼ1万回ずつ出ます。
このようなときに、これらの根元事象は「同様に確からしい」、という言い方をします。
このときに、事象Eの場合の数

を全事象の場合の数

で割ったもの

を、事象Eの起こる確率と言います。
確率は、事象Eの起こりやすさを表す数値です。

3の目が出るという事象を

と書くと、

，3の目が出る確率

は、

，

より、

です。
偶数の目が出るという事象を

と書くと、

，偶数の目が出る確率

は、

より、

です。
3の倍数の目が出るという事象を

と書くと、

，3の倍数の目が出る確率

は、

より、.

.です。

根元事象や、全事象は、問題によっていろいろなとらえ方をすることができます。
サイコロを振る場合、出た目を3で割った余り0，1，2を考えて、全事象を

とし、出た目が3の倍数であるという事象を

として、3の倍数の目が出る確率を

というように考えることもできます。ただし、ここで考えている3つの根元事象

，

は、同様に確からしくなければなりません。
サイコロを振って、出た目を4で割った余り0，1，2，3を考えると、事象

と事象

とは同様に確からしくはありません。

サイコロを2回振って出た目の和は、1と1の和の2から6と6の12まで11通りの可能性がありますが、根元事象を

，

，･･･，

，また、全事象を

と考えることはできません。サイコロを2回振って出た目の和が4になる確率を

とするのは誤りです。なぜなら、根元事象

，

，･･･，

は、「同様に確からしい」と言えないからです。
サイコロを2回振って出た目のパターンは、

，

，･･･，

の36パターンあります。この36パターンの各一は同様に確からしいと言えるので、根元事象を

，

，･･･，

とし、全事象を

と考えることができます。このとき、出た目の和が4になるという事象は、

です。従って、サイコロを2回振って出た目の和が4になる確率は、

となります。
根元事象を「同様に確からしい」と言えるように考えているか、という点が、確率の問題で最も間違いやすい点なので、よく注意してください。

同種のサイコロを2個振って出た目の和が4になる確率も、サイコロを2回振って出た目の和が4になる確率と全く同様に考えます。
サイコロに区別がないのだから、どちらが1でどちらが3なのか区別ができないではないか、というように疑問を持つ人もいると思いますが、確率の問題では、根元事象を「同様に確からしい」ものとして考える必要があります。「1の目と3の目が出る」という事象と「2の目が2個出る」という事象とでは、起こりやすさが倍違うのです。従って、同種のサイコロを2個振る場合でも、

と

を区別して、根元事象を、

，

というように考えなければなりません。確率の問題では、問題文に「同じサイコロを2個」とか「同じ球を3個」というように書かれていても、2個のサイコロを異なるサイコロとして区別し、同じ球3個を異なる球として区別して考えるべきです。簡単なことのように感じるかも知れませんが、重要なポイントです。

例．10個の同種の球を袋A，袋B，袋Cにでたらめに入れていくとき、袋Aに3個、袋Bに2個入る確率を求めよ。
[解答]　袋Aに3個、袋Bに2個入れば、自動的に袋Cに5個入るので、全事象の場合の数を、3種類のものから重複を許して10個とる重複組み合わせの数と考えて、

通りとし、求める確率を

とするのは誤りです。
なぜなら、ここで考えている全事象の66通りの各1通りは、「同様に確からしい」とは言えないからです。
「袋Aに3個、袋Bに2個、袋Cに5個入る」事象Dと、「袋Aに4個、袋Bに2個、袋Cに4個入る」事象Eとでは起こりやすさが違うのです。
全事象は、10個の球をすべて異なると考え、10個の球の各1個について袋A，袋B，袋Cの3通りの入り方があるので、重複順列として、