センター数学IA '12年第1問
[1](1) 不等式
の解は
である。 以下、aを自然数とする。
(2) 不等式
･･･①の解は
である。 (3) 不等式①を満たす整数xの個数をNとする。
のとき、
である。また、aが4，5，6，･･･と増加するとき、Nが初めて
より大きくなるのは、
のときである。
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解答 不等式を満たす整数解の個数の問題です。なお、1次方程式・1次不等式を参照してください。
(1) 
(ア) － (イ) 2 (ウ) 1 ......[答]
(2) 
･･･① (エ) 1 (オ) 2 ......[答]
(3) 
のとき、
を満たす整数xは、
，
，0，1の4個で、
(カ) 4 ......[答]②は、
のとき、
，これを満たす整数xは、
，
，0，1の4個で、
②は、
のとき、
，これを満たす整数xは、
，
，
，0，1，2の6個で、
Nが初めて4より大きくなるのは、
のときです。(キ) 5 ......[答]
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[2] kを定数とする。自然数m，nに関する条件p，q，rを次のように定める。
(1) 次の
に当てはまるものを、下の
～
のうちから一つ選べ。 (2) 次の
～
に当てはまるものを、下の～のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。 (i) 
とする。 pはqであるための
。 (ii) 
とする。 pはrであるための
。pはqであるための
。 必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件でない
十分条件であるが、必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない
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解答 相手の条件に対して「広い」方が必要条件、「狭い」方が十分条件、と、機械的に判断させないように、自然数、という指定をつけていますが、xy平面上で格子点を取ってみれば「広い」「狭い」で判断することができます。なお、条件と命題を参照してください。
(ク) 2 ......[答]
(2)(i) 
のとき、p：
または
，q：
となりますが、pを満たす整数の組
の集合
は、 qを満たす整数の組
の集合もこれに一致します。従って、pはqであるための必要十分条件です。(ケ) ......[答] (ii) 
のとき、 rを満たす整数の組
の集合を
とすると、 pを満たす整数の組
の集合を
とすると、 
，
qを満たす整数の組
の集合を
とすると、 よって、
即ち、q ⇒ p ⇒ r
pはrであるための十分条件であるが必要条件ではなく、pはqであるための必要条件であるが十分条件ではない、ということになります。(コ) (サ) ......[答]
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･･･②
または
は
である。
または
かつ
かつ
または
または
，
，
，
，
，
，
または
の否定は、
かつ
」となります。