センター数学IA '12年第2問　
[2]　a，bを定数として2次関数
　･･･①
について考える。関数①のグラフGの頂点の座標は
である。以下、この頂点が直線上にあるとする。このとき、
である。
(1) グラフGがx軸と異なる2点で交わるようなaの値の範囲は
である。また、Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるようなaの値の範囲は
である。
(2) 関数①のにおける最小値がとなるのは
または
のときである。また、のとき、関数①のにおける最大値はである。
一方、のときの①のグラフをx軸方向に，y軸方向にだけ平行移動すると、のときのグラフと一致する。


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解答　2次関数の最大最小・グラフの平行移動に関する問題です。

　･･･①

　･･･②
Gの頂点の座標は、
(ア) 2　(イ) 4　(ウ) 4 ......[答]
この頂点が、上にあるとき、

　･･･③
(エ) 8　(オ) 1　(カ) 3 ......[答]

(1) グラフGがx軸と異なる2点で交わるとき、Gは上に凸な放物線なので頂点のy座標は正です。
③より、
∴
(キ) －　(ク) 9　(ケ) 4 ......[答]
Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるとき、Gのグラフはy軸との部分で交わります。①でとすると、，よって、③より、
の解は、より、
(コ) 4　(サ) 3 ......[答]

(2) Gのグラフの軸の位置が、の範囲の中央()から左側か右側かで場合分けします。軸が範囲の中央から左にあるとき、，つまり、のとき、関数①は、範囲の右端において最小で、③より、

　(2次関数の最大最小を参照)
∴ ()
軸が範囲の中央から右にあるとき、つまり、のとき、関数①は、範囲の左端において最小で、③より、

∴ ()
(シ) －　(ス) 3　(セ) 1 ......[答]
のとき、なので、②より関数①は、
となり、Gの頂点はで、のとき、最大値をとります。
(ソ) －　(タ) 1　(チ) 3 ......[答]
のとき、②よりなので、②より関数①は、
となり、Gの頂点はに来ます。x軸方向に4，y軸方向に平行移動すると頂点はに来るので、のときのグラフと一致します。
(ツ) 4　(テ) －　(ト) 1　(ナ) 6 ......[答]


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