センター数学IA '13年第4問
(1) 1から4までの数字を、重複を許して並べてできる4桁の自然数は、全部で
個ある。 (2) (1)の
個の自然数のうちで、1から4までの数字を重複なく使ってできるものは
個ある。 (3) (1)の
個の自然数のうちで、1331のように、異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を、次の考え方に従って求めよう。 (i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は
通りある。 (ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を、一・十・百・千の位のうち、どの2箇所に置くか決める。置く2箇所の決め方は
通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると、大きい方の数字を置く場所は残りの2箇所に決まる。 (iii) (i)と(ii)により、求める個数は
個である。 (4) (1)の
個の自然数を、それぞれ別々のカードに書く。できた
枚のカードから1枚引き、それに書かれた数の四つの数字に応じて、得点を次のように定める。 ・四つとも同じ数字のとき 9点
・2回現れる数字が二つあるとき 3点
・3回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が一つあるとき 2点
・2回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が二つあるとき 1点
・数字の重複がないとき 0点
(i) 得点が9点となる確率は
，得点が3点となる確率は
である。 (ii) 得点が2点となる確率は
，得点が1点となる確率は
である。 (iii) 得点の期待値は
点である。
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解答 センター試験としてはやや高レベルな確率の問題です。
(1) 4桁の各桁ごとに1から4までの数字が入るので、4桁の自然数は、
個あります。 (ア) 2 (イ) 5 (ウ) 6 ......[答]
(2) 4桁の各桁で重複なく1から4の数字を使う、ということは、1から4の数字を並べて4桁の自然数を作るということです。
個あります。 (エ) 2 (オ) 4 ......[答]
(3)(i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶのは、
通りあります。 (カ) 6 ......[答]
(ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を、一・十・百・千の位のうち、どの2箇所に置くか決める決め方は、4箇所から2箇所を選ぶので、
通りあります。 (キ) 6 ......[答]
(iii) 異なる二つの数字を2回ずつ使ってできる自然数は、
個あります。 (ク) 3 (ケ) 6 ......[答]
(4)(i) 4桁で全部同じ数字になるのは、1111，2222，3333，4444の4個あります。
得点が9点になる確率は、
(コ) 1 (サ) 6 (シ) 4 ......[答]得点が3点になる確率は、異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものが36個あるので、
(ス) 9 (セ) 6 (ソ) 4 ......[答] (ii) 3回現れる数字が一つと、1回だけ現れる数字が一つあるものは、異なる二つの数字の選び方が6通り、大きい方の数字が3回出てくるか1回出てくるかが2通り、1回だけ現れる数字が4桁のどこに入るかが4通り、全部で、
個あります。得点が2点になる確率は、
(タ) 3 (チ) 1 (ツ) 6 ......[答]
2回現れる数字が一つと1回だけ現れる数字が二つあるものは、異なる三つの数字の選び方が
通り、三つの数字のどれを2回現れるようにするかが3通り、1回だけ現れる数字を入れる2箇所の選び方が
通り、2箇所のどちらにするかが2通り、全部で、
個あります。得点が1点になる確率は、
(テ) 9 (ト) 1 (ナ) 6 ......[答] (ニ) 3 (ヌ) 2 ......[答]
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