共通テスト数学IA '23年第5問 

(1) 円Oに対して、次の手順1で作図を行う。

手順1 −−−−−−−−−−−−
(Step 1) Oと異なる2点で交わり、中心Oを通らない直線を引く。円Oと直線との交点をABとし、、線分ABの中点Cをとる。
(Step2) Oの周上に、点Dが鈍角となるようにとる。直線CDを引き、円Oとの交点でDとは異なる点をEとする。
(Step3) Dを通り直線OCに垂直な直線を引き、直線OCとの交点をFとし、円Oとの交点でDとは異なる点をGとする。
(Step4) Gにおける円Oの接線を引き、直線との交点をHとする。
−−−−−−−−−−−−−−−−

このとき、直線と点
Dの位置によらず、直線EHは円Oの接線である。このことは、次の構想に基づいて、後のように説明できる。

構想−−−−−−−−−−−−−
直線
EHが円Oの接線であることを証明するためには、
であることを示せばよい。
−−−−−−−−−−−−−−−−


手順1(Step1)(Step4)により、4CGHは同一円周上にあることがわかる。よって、である。一方、点Eは円Oの周上にあることから、がわかる。よって、であるので、4CHGは同一円周上にある。この円が点を通ることにより、を示すことができる。

の解答群
 B   D   F   O

の解答群
             

の解答群
             

の解答群
 A   D   E   F


(2) Oに対して、(1)手順1とは直線の引き方を変え、次の手順2で作図を行う。

手順2 −−−−−−−−−−−−
(Step1) Oと共有点をもたない直線を引く。中心Oから直線に垂直な直線を引き、直線との交点をPとする。
(Step2) Oの周上に、点Qが鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
(Step3) Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
(Step4) Sにおける円Oの接線を引き、直線との交点をTとする。
−−−−−−−−−−−−−−−−

このとき、である。
Oの半径がで、であったとすると、3OPRを通る円の半径はであり、である。

の解答群
             

解答 点の名前に違いがあっても手順1と手順2で状況に違いはなく、CGH,ウの外接円と、CHG,カの外接円は、OHを直径とする同一の円、ということに気付いてしまえば、あっさり解決してしまいます。

(1) 直線EHが円Oの接線であることを示すためには、,つまり、であることを示します。 アイ 90 ......[]

円の中心Oと弦ABの中点Cとを結ぶと、,つまり、
直線
GHが円Oの接線であることから、
よって、
4CGHOは同一円周上にあります。 ウ 3 ......[]
四角形COGHは円に内接する四角形で、対向する内角は補角をなすので、,一方、 ∴  エ 4 ......[]
D
Gは直線OCに関する対称点なので、,一方、は弦DGの上に立つ円周角で、中心角なので、 オ 3 ......[]
よって、,つまり、
円周角の定理の逆より、
4CGHEは同一円周上にあります。 カ 2 ......[]
つまり、四角形CHGOの外接円と四角形CGHEの外接円は同一の円で、この外接円は、四角形OGHEの外接円でもあります。より、これと対向する内角です。また、このことから、線分OHが、この外接円の直径になっていることがわかります。


(2) 手順1と手順2で異なる手順に見えますが、実は、全く同じ状況であって、手順2は、(1)で、CPDQERGSHTとしたものになっています。従って、(1)だったことから、となります。より、です。 キ 3 ......[]
また、(1)の結果より、手順2では、四角形OSTRの外接円の直径はOTで、3OPRを通る円(四角形OSTRの外接円に一致)の半径は ク 3 ケ 6 コ 2 ......[]
Oの半径より、 サ 7 ......[]



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