共通テスト数学IA '24年第1問 

[1] 不等式
 ・・・@
を満たす整数nである。実数ab
 ・・・A
 ・・・B
で定める。このとき
 ・・・C
である。また
である。
@から
 ・・・D
が成り立つ。
太郎さんと花子さんは、について話している。


太郎:Dからのおよその値がわかるけど、小数点以下はよくわからないね。
花子:小数点以下をもう少し詳しく調べることができないかな。

@とCから
を満たす整数mとなる。よって、Bから
 ・・・E
が成り立つ。
の整数部分はであり、AとEを使えばの小数第
1位の数字は,小数第2位の数字はであることがわかる。

[2] 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて問題末の三角比の表を用いてもよい。
水平な地面(以下、地面)に垂直に立っている電柱の高さを、その影の長さと太陽高度を利用して求めよう。
1のように、電柱の影の先端は坂の斜面(以下、坂)にあるとする。また、坂には傾斜を表す道路標識が設置されていて、そこには7%と表示されているとする。
電柱の太さと影の幅は無視して考えるものとする。また、地面と坂は平面であるとし、地面と坂が交わってできる直線をとする。
電柱の先端を点
Aとし、根もとを点Bとする。電柱の影について、地面にある部分を線分BCとし、坂にある部分を線分CDとする。線分BCCDがそれぞれと垂直であるとき、電柱の影は坂に向ってまっすぐにのびているということにする。
電柱の影が坂に向ってまっすぐにのびているとする。このとき、
4ABCDを通る平面はと垂直である。その平面において、図2のように、直線ADと直線BCの交点をPとすると、太陽高度とはの大きさのことである。
道路標識の
7%という表示は、この坂をのぼったとき、100mの水平距離に対いて7mの割合で高くなることを示している。n1以上9以下の整数とするとき、坂の傾斜角の大きさについて
を満たすnの値はである。
以下では、の大きさは、ちょうどであるとする。
ある日、電柱の影が坂に向ってまっすぐにのびていたとき、影の長さを調べたところであり、太陽高度はであった。点
Dから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をEとするとき
であり
である。よって、電柱の高さは、小数第2位で四捨五入するとであることがわかる。

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
       
       

の解答群
 10.4   10.7   11.0
 11.3   11.6   11.9

別の日、電柱の影が坂に向ってまっすぐにのびていたときの太陽高度はであった。電柱の高さがわかったので、前回調べた日からの影の長さの変化を知ることができる。電柱の影について、坂にある部分の長さは
である。として、これを計算することにより、この日の電柱の影について、坂にある部分の長さは、前回調べた4mより約1.2mだけ長いことがわかる。

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
       
       

三角比の表
正弦(sin)余弦(cos)正接(tan) 正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)
0°0.00001.00000.0000 45°0.70710.70711.0000
1°0.01750.99980.0175 46°0.71930.69471.0355
2°0.03490.99940.0349 47°0.73140.68201.0724
3°0.05230.99860.0524 48°0.74310.66911.1106
4°0.06980.99760.0699 49°0.75470.65611.1504
5°0.08720.99620.0875 50°0.76600.64281.1918
6°0.10450.99450.1051 51°0.77710.62931.2349
7°0.12190.99250.1228 52°0.78800.61571.2799
8°0.13920.99030.1405 53°0.79860.60181.3270
9°0.15640.98770.1584 54°0.80900.58781.3764
10°0.17360.98480.1763 55°0.81920.57361.4281
11°0.19080.98160.1944 56°0.82900.55921.4826
12°0.20790.97810.2126 57°0.83870.54461.5399
13°0.22500.97440.2309 58°0.84800.52991.6003
14°0.24190.97030.2493 59°0.85720.51501.6643
15°0.25880.96590.2679 60°0.86600.50001.7321
16°0.27560.96130.2867 61°0.87460.48481.8040
17°0.29240.95630.3057 62°0.88290.46951.8807
18°0.30900.95110.3249 63°0.89100.45401.9626
19°0.32560.94550.3443 64°0.89880.43842.0503
20°0.34200.93970.3640 65°0.90630.42262.1445
21°0.35840.93360.3839 66°0.91350.40672.2460
22°0.37460.92720.4040 67°0.92050.39072.3559
23°0.39070.92050.4245 68°0.92720.37462.4751
24°0.40670.91350.4452 69°0.93360.35842.6051
25°0.42260.90630.4663 70°0.93970.34202.7475
26°0.43840.89880.4877 71°0.94550.32562.9042
27°0.45400.89100.5095 72°0.95110.30903.0777
28°0.46950.88290.5317 73°0.95630.29243.2709
29°0.48480.87460.5543 74°0.96130.27563.4874
30°0.50000.86600.5774 75°0.96590.25883.7321
31°0.51500.85720.6009 76°0.97030.24194.0108
32°0.52990.84800.6249 77°0.97440.22504.3315
33°0.54460.83870.6494 78°0.97810.20794.7046
34°0.55920.82900.6745 79°0.98160.19085.1446
35°0.57360.81920.7002 80°0.98480.17365.6713
36°0.58780.80900.7265 81°0.98770.15646.3138
37°0.60180.79860.7536 82°0.99030.13927.1154
38°0.61570.78800.7813 83°0.99250.12198.1443
39°0.62930.77710.8098 84°0.99450.10459.5144
40°0.64280.76600.8391 85°0.99620.087211.4301
41°0.65610.75470.8693 86°0.99760.069814.3007
42°0.66910.74310.9004 87°0.99860.052319.0811
43°0.68200.73140.9325 88°0.99940.034928.6363
44°0.69470.71930.9657 89°0.99980.017557.2900
45°0.70710.70711.0000 90°1.00000.0000



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解答 昨年の第1問より難易度がぐんと上がっていて、基礎学力を見る共通テストとしては、由々しきことだと思います。

[1] @両辺を2乗すると、

両者を比較して、 ア 7 .......[]
よって、Aは、
Bより、 
(分母の有理化を参照)
 イ 7 ウ 3 ......[]
 エオカ ......[]
@より、
これとCより、,即ち、
よって、 キク
14 ......[]
より、
よってEは、 
(不等式を参照)
より、

より、
これより、の整数部分は3,小数第1位の数字は6,小数第2位の数字は0です。 ケ 3 コ 6 サ 0 ......[]

(2) 三角比の表を見ると、なので、
よって、
を満たす
nの値は4 シ 4 ......[]
D
から直線BPに垂線を下し、垂線の足をQとします。また、Dから直線ABに下した垂線の足がEです。
以下、斜面の傾角をとします。右図より、
4 セ 0 ......[]
 ・・・F
7 タ 4 チ2 ......[]
太陽高度をとします。ここでは、です。また、です。
三角比の表より、
電柱の高さは、Fより、

3 ......[]
別の日の場合は、です。Fより、
 ・・・G
また、
 ・・・H
G,Hより、


7 ト 5 ナ 0 ニ 1 ......[]


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