共通テスト数学IA '24年第3問 

箱の中にカードが2枚以上入っており、それぞれのカードにはアルファベットが1文字だけ書かれている。この箱の中からカードを1枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行を繰り返し行う。

(1) 箱の中にのカードが1枚ずつ全部で2枚入っている場合を考える。
以下では、2以上の自然数nに対し、n回の試行でABがそろっているとは、n回の試行でのそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
(i) 2回の試行でABがそろっている確率はである。
(ii) 3回の試行でABがそろっている確率を求める。
例えば、3回の試行のうち1回、2回取り出す取り出し方は3通りあり、それらをすべて挙げると次のようになる。
1回目2回目3回目

このように考えることにより、3回の試行でABがそろっている取り出し方は通りあることがわかる。よって、3回の試行でABがそろっている確率はである。
(iii) 4回の試行でABがそろっている取り出し方は通りある。よって、4回の試行でABがそろっている確率はである。

(2) 箱の中にのカードが1枚ずつ全部で3枚入っている場合を考える。
以下では、3以上の自然数nに対し、n回目の試行で初めてABCがそろうとは、n回の試行でのそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつのうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
(i) 3回目の試行で初めてABCがそろう取り出し方は通りある。よって、3回目の試行で初めてABCがそろう確率はである。
(ii) 4回目の試行で初めてABCがそろう確率を求める。
4回目の試行で初めてABCがそろう取り出し方は、(1)(ii)を振り返ることにより、通りあることがわかる。よって、4回目の試行で初めてABCがそろう確率はである。
(iii) 5回目の試行で初めてABCがそろう取り出し方は通りある。よって、5回目の試行で初めてABCがそろう確率はである。

(3) 箱の中にのカードが1枚ずつ全部で4枚入っている場合を考える。
以下では、6回目の試行で初めてABCDがそろうとは、6回の試行でのそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつのうちいずれか1枚が6回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
また、
3以上5以下の自然数nに対し、6回の試行のうちn回目の試行で初めてABCだけがそろうとは、6回の試行のうち1回目からn回目の試行で、のそれぞれが少なくとも1回は取り出され、1回も取り出されず、かつのうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。6回の試行のうちn回目の試行で初めてBCDだけがそろうなども同様に定める。
太郎さんと花子さんは、
6回目の試行で初めてABCDがそろう確率について考えている。

太郎:例えば、5回目までにのそれぞれが少なくとも1回は取り出され、かつ6回目に初めてが取り出さる場合を考えたら計算できそうだね。
花子:それなら、初めてABCだけがそろうのが、3回目のとき、4回目のとき、5回目のときで分けて考えてみてはどうかな。

6回の試行のうち3回目の試行で初めてABCだけがそろう取り出し方が通りであることに注意すると、「6回の試行のうち3回目の試行で初めてABCだけがそろい、かつ6回目の試行で初めてが取り出される」取り出し方は通りあることがわかる。
同じように考えると、「
6回の試行のうち4回目の試行で初めてABCだけがそろい、かつ6回目の試行で初めてが取り出される」取り出し方は通りあることもわかる。
以上のように考えることにより、
6回目の試行で初めてABCDがそろう確率はであることがわかる。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 誘導がついているので何とかなると思いますが、昨年の確率よりも難しくなっています。

(1)(i) 2回の試行で取り出されるカードのパターンは、AAABBABB4パターンで、そのうち、ABがそろうのはABBA2パターン、その確率は、 ア 1 イ 2 ......[]
(ii) 1回、2回取り出す取り出し方は3通り、1回、2回取り出す取り出し方も3通り、3回の試行でABがそろっている取り出し方は、通り。 ウ 6 ......[]
3回の試行で取り出されるカードのパターンは、AB2通りから3回取るので通り(重複順列を参照)3回の試行でABがそろっている確率は、
(iii) 4回の試行で、取り出されるカードのパターンは通り。Aだけ取り出すのが1通り、Bだけ取り出すのが1通り、ABがそろっている取り出し方は、通り。 エオ 14 ......[]
その確率は、 カ 7 キ 8 ......[]

(2)(i) 3回目の試行で初めてABCがそろう取り出し方は、ABCの並べ方の数だけあり、通りあります。 ク 6 ......[]
3回の試行で取り出されるカードのパターンは、ABC3通りから3回取るので通り。3回目の試行で初めてABCがそろう確率は、
(ii) 4回目に初めてCが出るのは、始めの3回の試行でABがそろうときなので、ウより6通り。4回目に初めてAが出るのも、4回目に初めてBが出るのも6通り、合わせて通り、4回の試行で取り出されるカードのパターンは通り。求める確率は、 ケ 2 コ 9 ......[]
(iii) 5回目に初めてCが出るのは、始めの4回の試行でABがそろうときなので、エオより14通り。5回目に初めてAが出るのも、5回目に初めてBが出るのも14通り。合わせて通り サシ 42 ......[]
5回の試行で取り出されるカードのパターンは通り。5回目の試行で初めてABCがそろう確率は、

(3) クより、3回目の試行で初めてABCだけがそろう取り出し方は6通り、4回目、5回目の試行で取り出されるカードのパターンは通りで、このとき6回目の試行で初めてDが取り出される取り出し方は、通り スセ 54 ......[]
(2)(ii)より、4回目の試行で初めてABCだけがそろう取り出し方は18通り。5回目の試行で取り出されるカードは3通りで、このとき6回目の試行で初めてDが取り出される取り出し方は、通り ソタ 54 ......[]
サシより、5回目の試行で初めてABCだけがそろう取り出し方は42通り。
3回目、4回目、5回目で初めてABCがそろうのが、通り、ACDがそろうのも、ABDがそろうのも、BCDがそろうのも150通りで、合わせて通り。6回の試行で取り出されるカードのパターンは通り。6回目の試行で初めてABCDがそろう確率は チツ 75 テトナ 512 ......[]


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2024
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。