センター数学IIB '07年第4問
点Oを原点とする座標空間に4点A
，B
，C
，D
がある。
とし、線分ABをa：
に内分する点をE，線分CDをa：
に内分する点をFとする。
(1) 
はaを用いて 
と表される。さらに、
が
に垂直であるのは
のときである。 (2) 
とする。
として、線分EFをb：
に内分する点をGとすると、
はbを用いて 
と表される。 (3) (2)において、直線OGと直線BCが交わるときのbの値と、その交点Hの座標を求めよう。
点Hは直線BC上にあるから、実数sを用いて
と表される。また、ベクトル
は実数tを用いて
と表される。よって
，
，
である。したがって、点Hの座標は
である。また、点Hは線分BCを
：1に外分する。
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解答 見易くするために、ベクトルを縦ベクトルで書いて計算して行きます。
(1) 線分ABをa：
に内分する点をEの位置ベクトルは(空間ベクトルを参照)、 
線分CDをa：
に内分する点をFの位置ベクトルは、
(アイ) −2 (ウエ) −2 (オ) 1 (カ) 4 ......[答]
より、
∴ 
(キ) 1 (ク) 4 ......[答]
線分EFをb：
に内分する点をGの位置ベクトルは、
(ケ) 3 (コ) 2 (サ) 4 (シ) 1 (ス) 2 (セ) 1 ......[答]
より、
一方、
∴ 
，
，
第3式より、
第1式のsを第2式に代入して
∴ 
第1式より、
(ソ) 3 (タ) 4 (チ) 3 (ツ) 2 (テ) 4 ......[答]これより、
(ト) 3 (ナ) 2 (ニヌ) −1 (ネ) 1 ......[答]
より、HはBCを3：1に外分する点。(ノ) 3 ......[答]
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のとき、
，
より、
，