空間ベクトル 関連問題
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
平面ベクトルにおいて、有向線分としてベクトルを定義しましたが、空間においても同様に、有向線分として空間ベクトルを定義します。
従って、平面ベクトルにおいて成り立つことは空間ベクトルにおいても、成分表示にz成分が付け加わるだけで、そのまま成り立ちます。
以下については、ベクトルとはを参照してください。
(1) 空間内に2点A，Bがあるとき、大きさが線分ABの長さであって、向きがAからBに向かう量を、ベクトル
とする。 (2) 空間内に3点A，B，Cがあるとき、
(4) 
(5) 実数kについて、
は、 
のとき、
と同じ向きで長さがk倍となるベクトル
のとき、
と正反対の向きで、長さが
倍となるベクトル
のとき、零ベクトル
(6) ベクトルの和、差、実数倍は、文字の計算と同様に行う。
以下については、ベクトルの1次独立を参照してください。
(7) 空間内の2つのベクトル
，
が平行 ⇔ 
となる実数kがある。 (8) 1次独立については、平面ベクトルと空間ベクトルで異なる点がある。
平面ベクトルでは、
平面上の2つのベクトル
，
が1次独立
⇔ 
(k：実数) かつ 
かつ 
⇔ 
ならば
⇔ 
，
で三角形を作るような位置関係にある。
これが、空間ベクトルでは、
空間内の3つのベクトル
，
，
が1次独立
⇔ 
，
，
が零ベクトルでなく同一平面上に存在しない。
⇔ 
ならば
⇔ 
，
，
で四面体を作るような位置関係にある。
平面を2次元，空間を3次元と言うのは、平面ベクトルでは1次独立なベクトルの組が2個のベクトル、空間ベクトルでは1次独立なベクトルの組が3個のベクトルから成ることからきています。 (9) 1次結合の形も、平面ベクトルと空間ベクトルで異なる点がある。
平面ベクトルでは、1次独立な2つのベクトル
，
があるとき、平面内の任意のベクトル
は、s，tを実数として、
と表せる。また、実数s，tの組はただ1通りに定まる。
空間ベクトルでは、1次独立な3つのベクトル
，
，
があるとき、空間内の任意のベクトル
は、s，t，uを実数として、
と表せる。また、実数s，t，uの組はただ1通りに定まる。
空間ベクトルでは、
の形を1次結合と言う。 (10) 空間ベクトルでも、原点を始点とするベクトル
を、点Pの位置ベクトルと言う。
以下については、ベクトルの成分表示を参照してください。
(11) 空間ベクトルでも、大きさが1のベクトルを基本ベクトルと言う。
(12) 点
，
，
の位置ベクトルを
，
，
とすると、これらのベクトルは基本ベクトルであるとともに、1次独立である。空間内の任意の点P
の位置ベクトル
を、
と表すことができる。x，y，zは点Pのx座標，y座標，z座標で、
と表す。これを
の成分表示と言い、x，y，zを
のx成分，y成分，z成分と言う。 (13) 2つのベクトル
，
に対して、k，hを実数として、
以下については、内積を参照してください。
(14) 2つのベクトル
，
に対して、
と
の内積
は、
と
のなす角をθ として、 証明は、平面ベクトルにおける内積と同様に、三角形の余弦定理を用いればよい。 (15) 
⇔ 
(16) 
以下については、ベクトルの内分・外分を参照してください。
(17) 内分点、外分点の公式は、ベクトルとして書くときには、平面ベクトルと空間ベクトルとで同じ形をしています。
空間内の2点A
，B
に対して、線分ABをm：nに内分する点Pの位置ベクトルは、 線分ABをm：nに外分する点Pの位置ベクトルは、
とくに、2点A，Bの中点は、
また、C
として、三角形ABCの重心は、
以下については、直線のベクトル方程式を参照してください。
(18) 直線のベクトル方程式は、ベクトルとして書くときには、平面ベクトルと空間ベクトルとで同じ形をしている。
空間内の点A
を通り、方向ベクトル：
に平行な直線上の点Pの位置ベクトル
は、点Aの位置ベクトルを
，tを実数として、
成分表示で書くと、
これより、
(これを直線の媒介変数表示と言う)媒介変数tを消去すると、
(
)これが空間図形における直線の方程式になる。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学基礎事項TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
に対して、
を
の逆ベクトルと言い、
