直線のベクトル方程式 関連問題
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右図のように、点Aを通り、ベクトル
に平行な直線l上を動く点Pがあったとして、点Pの位置ベクトル
が満たす方程式を考えます。
点PがAに重なるときを除いて、
// 
より、実数tを用いて、
と表せます(
とすれば、点Pは点Aに重なります)。
より、
，
，
，
として、
･･･①
①式を直線のベクトル方程式と言います。変数tが全ての実数をとるとき、点Pは①が示す直線上を全て動きます。
は直線上の1点を指定するベクトルで起点ベクトルと呼ばれます。
は直線の方向を定めるベクトルで方向ベクトルと言います。
①を成分表示の形で書くと、
，
，
として、(
は直線上の点の座標です)
x成分，y成分ごとに分けて書くと、
これを直線の媒介変数表示と言います。また、変数tを媒介変数と言います。
①の変数tを消去することを考えてみます。
と垂直なベクトルを
とします。このとき、
です。
①式両辺と
との内積を作ると、
∴ 
･･･②
②式も、ベクトルを利用して直線を示す式です。
ベクトルのx成分と?y成分を入れ替えて、片方にマイナスをつけると、元のベクトルと垂直なベクトルを作ることができます。
のx成分とy成分を入れ替えて、
をaに変えると、
となりますが、
となるので、
です。
②式を成分表示を使って書き直してみます。
ここで、
とおくと、
･･･③
③は、座標平面上で考えたときの直線の方程式にほかなりません。
は、直線の方程式のxとyの係数を拾い出して作ったベクトルですが、
より、③式が表す直線に垂直な方向を向きます。
を法線ベクトルと言います。
例．直線l：
について、x，yの係数を抜き出して作ったベクトル
が、直線lの法線ベクトルで、直線lに垂直です。直線lの方向ベクトルは法線ベクトルと垂直なベクトル
です。
とすると、
となるので、直線lは、点
を通る直線です。直線lのベクトル方程式は、
直線lの媒介変数表示は、
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