内積 関連問題
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(1) 右図のように、2つのベクトル
，
のなす角がθ のとき、
を
と書いて内積と言う。
即ち、
(2) 
，
のとき、
(ベクトルの成分表示を参照)
(3) 
のとき、
で
となり、
，
であって、
のとき、
(4) 
，
が同一方向を向いていて、
，
のなす角が0のとき
より、
，
が正反対の方向を向いていて、
，
のなす角が
のとき
より、
特に、
(1) 2つのベクトルのなす角θ は、通常は、
となるようにとります。
または
のときは、なす角を測ることができませんが、
とします。
(4)で、
を、
と書かないようにしてください。ベクトルには内積の他に、「外積」と呼ばれる積があって、内積としての2乗なのか、外積としての2乗なのかを区別することができません。内積としての2乗は、面倒でも、
と書くようにしましょう。
(2)の証明 右上図で、点A
，点B
，
，
，
として、
，
，
，
とします。
余弦定理より、
･･･①
，
，
これらを①に代入すると、
左辺を展開して整理すると
が得られます。
または
のときは、
または
であって、いずれにしても、
です。
よって、(2)が成立します。
，
であって、
または
のときは、
，つまり、
とおくことができて、
，
となります。
のとき、
，(1)によると、
よって、(2)が成立します。
のとき、
，(1)によると、
よって、(2)が成立します。
(証明終)
例1．
，
のとき、
と
のなす角θ (
)を求める。
[解答] 
より、
∴ 
∴ 
......[答]
例2．
，
，
のとき、
を求める。
[解答] 
･･･①
･･･②
･･･③
②－①より、
∴ 
･･･④
①×9－③より、
∴ 
④に代入して、
∴ 
，
①より、
∴ 
∴ 
......[答]
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