センター数学IIB '12年第4問
空間に異なる4点O，A，B，Cを
，
，
となるようにとり、
，
，
とおく。さらに、3点D，E，Fを、
，
，
となるようにとり、線分BDの中点をL，線分CEの中点をMとし、線分ADを3：1に内分する点をNとする。
，
と表される。
(2) 2直線FL，MNが交わることを確かめよう。
とし、線分FLをs：
に内分する点をPとする。
は、sと
，
，
を用いて と表される。
のとき、
となるので、M，N，Pは一直線上にある。よって、2直線FL，MNは交わることがわかる。
(3) 2直線FL，MNの交点をGとする。
，
は、
，
，
を用いて と表される。
，
，
とする。このとき、
，
となる。
次に、直線OC上に点Hをとり、実数t を用いて、
と表す。
，
は、t を用いて 
･･･①
･･･②と表される。
さらに、
とする。このときのt の値を求めよう。
，
と
であることから 
･･･③が成り立つ。①，②，③から、
である。
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解答 よく前後を見渡していないと何をやっているのかわからなくなりそうな空間ベクトルの問題ですが、難解なわけではありません。計算するだけなので、落ち着いて解答しましょう。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) 
，
(ア) 2 (イ) 3 (ウ) 4 ......[答]
(2) 
･･･④(エ) 1 (オ) 2 (カ) 1 ......[答]
M，N，Pが一直線上にあるとき、
より、 ∴ 
のとき、
となります。(キ) 2 (ク) 3 (ケ) 2 (コ) 3 ......[答]
(3) (2)の点Pが点Gです。④で
として、 (サ) 1 (シ) 3 (ス) 2 (セ) 2 ......[答]
･･･⑤(ソ) 2 ......[答]
より、 ∴ 
･･･⑥(タ) 3 ......[答] (チ) 2 (ツ) 1 (テ) 6 (ト) 3 ......[答]
･･･②⑥，
を用いると、
として、 
，
∴ 
･･･③(ナ) 3 (ニ) 2 ......[答]①，②，③より、 ∴ 
(ヌ) 1 (ネ) 3 ......[答]
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，
は
，
，
を用いて
，
，
の係数が等しいから、
，
，
(⑤を用いた)
(⑥を用いた)
･･･①