定積分 関連問題
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微分可能な関数
があって、
,つまり、
の導関数が
,
の原始関数が
であるとき、
を、
の
から
までの定積分と言う。aを下端、bを上端と言う。
定積分の計算の途中過程で一旦
の原始関数が
であることを示すために、
のように書く。
定積分には以下の性質がある。
(i) ![](defintg.files/Eqn014.gif)
(ii) ![](defintg.files/Eqn015.gif)
(iii) ![](defintg.files/Eqn016.gif)
(iv) ![](defintg.files/Eqn017.gif)
,
だとして、(i)〜(iv)の証明をつけておきます。
(i) ![](defintg.files/Eqn020.gif)
(ii)
,
より、![](defintg.files/Eqn023.gif)
(iii) ![](defintg.files/Eqn024.gif)
![](defintg.files/Eqn025.gif)
(iv)
より、
![](defintg.files/Eqn027.gif)
![](defintg.files/Eqn028.gif)
![](defintg.files/Eqn029.gif)
![](defintg.files/Eqn030.gif)
不定積分は関数ですが、上端と下端が定数なら定積分は定数になります。
例1.![](defintg.files/Eqn031.gif)
![](defintg.files/Eqn032.gif)
![](defintg.files/Eqn033.gif)
![](defintg.files/Eqn034.gif)
例2.
を満たす関数
を求める。
[解答] まず、定積分を定数とおきます。
・・・@ とおいて、
・・・A
これを@に代入すると、
![](defintg.files/Eqn039.gif)
![](defintg.files/Eqn040.gif)
∴ ![](defintg.files/Eqn041.gif)
Aに代入して、
......[答]
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