行列の対角化 関連問題
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2次正方行列
が2つのベクトル
，
にかけられて、
･･･①
･･･②
という2式ができたとします。
この2式を1つの式にまとめる、という技巧があります。
という行列の積の計算をよく眺めると、
･･･③
という形をしていることがわかります。
同様に、2次正方行列
と、2つの実数
，
，2つのベクトル
，
があるときに、
という2つの式を③を用いて1つにまとめることを考えます。
と書けるので、
･･･④
と書くことができます。
n次正方行列Aが、相異なる固有値
，
，･･･，
をもち、固有値
，
，･･･，
に対応する固有ベクトルが
，
，･･･，
だとすると、
，
，･･･，
が成り立ちます。これらについても、④と全く同様にして、行列を用いて1つにまとめて表すことができます。
･･･⑤
行列Aの固有ベクトル
，
，･･･，
を横に並べてできる行列を
とすると、
，
，･･･，
は1次独立(固有値・固有ベクトルを参照)なので、Pは逆行列
をもちます。⑤は、Pを用いて、
と書くことができます。ここで、
を左からかけると、
つまり、n次正方行列Aが相異なる固有値をもつときに、固有ベクトルを横に並べてできる行列をPとして、Aの左から
をかけ、Aの右からPをかけると、固有値が対角成分となりそれ以外の成分はすべて0であるような行列になります。この操作を行列の対角化と言います。
注．実は、固有方程式：
がl重解
をもつ場合であっても、固有値
に対応する固有ベクトルがl個ある場合には、行列Aを対角化することができます。このときには、固有ベクトルを横に並べた行列をPとして、Aを対角化すると、
のように、対角成分に
がl個並びます。
固有方程式：
がl重解
をもつ場合、固有値
に対応する固有ベクトルがl個未満の場合には、行列Aを対角化することはできず、類似の操作を行うと、Jordanの標準形と呼ばれる形になります。
2次正方行列の場合では、固有方程式が重解
をもつと、
に対する固有ベクトルは1つしか存在せず、対角化することはできません。
例1．
を対角化する。
固有方程式は、
より、
∴ 
のとき、
∴ 
例えば、
，
固有値2に対応する固有ベクトルは、tを実数として、
のとき、
∴ 
例えば、
固有値3に対応する固有ベクトルは、sを実数として、
よって、
とすると、
例2．
は、固有方程式が重解をもち対角化できない。
固有方程式は、
∴ 
のとき、
∴ 
例えば、
，
固有値
に対応する固有ベクトルは、tを実数として、
これ以外に固有ベクトルはありません。そこで、
となるベクトルを考えます。
∴ 
例えば、
，
を固有ベクトルの代用として、
を考えます。
この形は、対角成分に固有値が重解なので2個並び、固有値が並んだ右側に1が来ている形で、Jordanの標準形と言われています。
なぜこういう形になるかと言うと、
，
として、
，
を1つにまとめて書くと、
となるからです。
を
のようにとるのは、
とするためです。
例3．
を対角化する。
固有方程式は、
∴ 
のとき、
∴ 
これを満たすのは、例えば、
，
，
，または、
，
，
よって、固有値1に対応する固有ベクトルは、
，
のとき、
∴ 
，
これを満たすのは、例えば、
，
，
よって、固有値2に対応する固有ベクトルは、
とすると、
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