確率分布 関連問題
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サイコロを振ったとき、4が出たら
，2か6が出たら
，1か3か5が出たら
だとします。
1回サイコロを振って、
になる確率は
，
になる確率は
，
になる確率は
です。この状況を表にして表すと、
このように、Xがとりうる値xに対して確率
が決まる関係を、確率分布と言います。また、Xを確率変数と言います。
一般的に、n個の要素をもつ集合Uの要素
(
)について、
のとき、確率
が定まり、
かつ
であるときに、Xを確率変数と言い、Xがとりうる値
に対して確率
が以下の表(＊)のように決まる関係を確率分布と言います。
このとき、確率変数Xは、上記の表(＊)で定まる確率分布に従う、という言い方をします。
また、以上のように集合Uの要素が有限個か、あるいは、仮に無限個あったとしても集合Uが1個、2個、3個、･･･と数えていけるようなものである場合には、確率変数を特に離散型確率変数、確率分布を離散型確率分布と言います。
確率変数Xが表(＊)で定まる確率分布に従うとき、
をXの平均または期待値と言います。
最初に出てきた確率分布、
においては、Xの期待値は、
となります。
集合Uの要素の個数を
，Uの部分集合
(
)について、すべての部分集合の相異なるどの2個
，
(
，
，
)についても
かつ
であるとき、集合
の個数を
とすると、
です。
集合
のすべての要素について、確率変数Xが
という値をとるとします。集合Uのすべての要素について同様に確からしいとすると、確率変数Xが
という値をとる確率
は
です。このとき、確率変数Xの平均
は、Uの全要素がとる値
の平均値、つまりXの平均値
です。
再び、n個の要素
，
，･･･，
からなる集合Uのもとで、確率変数Xが
という値をとる確率を
とする確率分布を考えます。平均と同様に、
，
，･･･，
のデータの散らばりの程度を表す量、即ちXの分散
を、
として、
，
，･･･，
という値をとる確率変数
の平均(期待値)と考えて、
として定義します。また、Xの標準偏差は
です。確率分布における分散についても、
ここで、
，
，
より、
となります。つまり、
の平均からXの平均の2乗を引くことによりXの分散を求めることができます。
確率変数Xが、表(＊)で表される確率分布に従うとします。このとき、a，bを定数として、
によって、新たな確率変数Yを考え、
のとき、
として確率変数Yが
となるとき、このXとYの対応関係を、Xに対する確率変数の変換と言います。
(
)のとき、
として、
となりますが、
となる確率
は、
となる確率に等しく、
です。このとき、Yの平均
と分散
は、
，
，
より、
標準偏差については、
(
)に対して、以下の性質を満たす確率
が定まるとき、この関係を確率分布、Xを確率変数と言う。
，
(
とする)
確率変数Xの分散：
確率変数Xの標準偏差：
確率変数の変換：
(a，bは定数)に対して、
確率変数Yの平均：
確率変数Yの分散：
，確率変数Yの標準偏差：
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