偶関数・奇関数の積分 関連問題
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のグラフがy軸に関して対称であるとき、つまり、定義域内のxに関して、
が成り立つとき、
を偶関数と言う。
のグラフが原点に関して対称であるとき、つまり、定義域内のxに関して、
が成り立つとき、
を奇関数と言う。
(1) 
が偶関数であるとき、
(2) 
が奇関数であるとき、
[証明](1)について、
右辺第1項の積分は、
とおくと、
，x：
のとき、t：
(置換積分を参照)
また、
が偶関数であることから、
，よって、
∴ 
(2)について、
右辺第1項の積分は、
とおくと、
，x：
のとき、t：
また、
が奇関数であることから、
，よって、
∴ 
(証明終)
(1)は、偶関数
では、曲線
の
の部分と
の部分とは同じ形をしています。
この2つの部分とx軸とに挟まれている部分の面積は等しいので、定積分の計算では、
の部分を2倍すればよいのです。
(2)は、奇関数
では、曲線
の
の部分と
の部分とでは、同じ形ですが、符号がちょうど逆になっていて、
定積分についても、
という関係にあるので、足し合わせれば0になるということです。
例．
を計算する。
[解答] 積分区間が、
という風になっている場合には、必ず関数の偶奇に注意してください。
ここで、
と
は奇関数なので、定積分は0になります。
は偶関数なので、
の定積分だけ、積分区間を
としたものを2倍にして計算すればよいのです。
......[答]
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