偶関数・奇関数の積分　　　関連問題


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のグラフがy軸に関して対称であるとき、つまり、定義域内のxに関して、が成り立つとき、を偶関数と言う。
のグラフが原点に関して対称であるとき、つまり、定義域内のxに関して、が成り立つとき、を奇関数と言う。
(1) が偶関数であるとき、
　
(2) が奇関数であるとき、
　
[証明](1)について、
右辺第1項の積分は、とおくと、，x：のとき、t：　(置換積分を参照)
また、が偶関数であることから、，よって、

∴
(2)について、
右辺第1項の積分は、とおくと、，x：のとき、t：
また、が奇関数であることから、，よって、

　
∴
(証明終)

(1)は、偶関数では、曲線のの部分との部分とは同じ形をしています。
この2つの部分とx軸とに挟まれている部分の面積は等しいので、定積分の計算では、の部分を2倍すればよいのです。
(2)は、奇関数では、曲線のの部分との部分とでは、同じ形ですが、符号がちょうど逆になっていて、
定積分についても、という関係にあるので、足し合わせれば0になるということです。

例．を計算する。
[解答]　 積分区間が、という風になっている場合には、必ず関数の偶奇に注意してください。

　
ここで、とは奇関数なので、定積分は0になります。は偶関数なので、の定積分だけ、積分区間をとしたものを2倍にして計算すればよいのです。
　
　
　
　 ......[答]


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