因数定理 関連問題
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剰余の定理：多項式
を
で割ると、余りは
[証明] 多項式
を
で割ったときの商を
，余りをRとします。
1次式で割るので、余りは定数です(多項式の除算を参照)。
このとき、
ここで、
とすると、
よって、多項式
を
で割ると、余りは
(証明終)
例1．多項式
を
で割ると3余り、
で割ると
余るという。
を
で割った余りを求めよ。
[解答] 
を
で割ると3余るから、
･･･① とおけます。
を
で割ると
余るから、剰余の定理より、
です。
①において、
とすると、
∴ 
これより、
を
で割ると2余るので、
とおけます。
これを①に代入すると、
よって、
を
で割った余りは、
......[答]
[別解] 
を2次式
で割った余りは1次式なので、
とおくと、
･･･②
を
で割ると3余るので、②で
として、剰余の定理より、
･･･③
を
で割ると
余るので、②で
として、剰余の定理より、
･･･④
③－④より、
∴ 
③より、
これより求める余りは、
......[答]
多項式
を
で割ったときの商を
，余りをRとして、
ここで、
とすると、
即ち、多項式
を
で割ったときの余りは、
です。
因数定理：多項式
が
で割り切れる ⇔ 
[証明] 剰余の定理より、
を
で割ったときの余りは
割り切れるとき、余り
逆に、
のとき、
を
で割ったときの商を
として、
よって、
は
で割り切れます。 (証明終)
因数定理を用いて、因数分解する方法を考えます。
多項式：
について、
であれば、
で割り切れるので、
のxに適当な数値aを代入して、
となるものを探します。
無方針に探してもなかなか見つからないときもあるので、
の定数項をc，最高次の項の係数をdとして、cの約数を分子、dの約数を分母とする分数をaとして、
を計算し、
となれば、
は
で割り切れます。
例2．
を因数分解してみます。
定数項の36の約数は、1，2，3，4，･･･
最高次の項の係数4の約数は、1，2，4
まず1を分母にするものから、1，2，3，･･･，と順に代入していきます。
より、
は
で割り切れません。
より、
は
で割り切れません。
より、
は
で割り切れます。
を
で割りますが、1次式で割るときの割り算は、右図のように組み立て除法によるのが便利です。
を
で割るので、まず、割られる式の係数を抜き出して書き、3 (xから引く数)をどこかに、見間違いをしないように書きます(図1)。
4の下に0 (最初は0です)を書き、4と0の和4をその下に書きます(図2)。
先の和の4と3をかけた12を0の下に書き、0と12の和12をその下に書きます(図3)。
先の和12と3をかけた36を
の下に書き、
と36の和17をその下に書きます(図4)。
先の和17と3をかけた51を
の下に書き、51と
の和12をその下に書きます(図5)。
先の和12と3をかけた36を
の下に書き、
と36の和0をその下に書きます(図6)。
最後の0が実は多項式の除算の余りです。余りがあれば0になりません。この0を除いた残りの、4，12，17，12は商の各項の係数です。
従って、商
は、
となります。
の因数分解を考えます。
のxに正数を代入しても0にならないのは明らかです。
xに負数を代入していきます。
，
，
，･･･
そこで、分母を2にしてみます。
，
これより、
は
で割り切れます。このときの組み立て除法は、
で割ると考えて右下図のようにやります。
商は、
となり、
と因数分解されました(
は実数の範囲では因数分解できません)。
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