電通大数学'07年後期[3]
関数
について、以下の問いに答えよ。
(1) 
，
を求めよ。 (2) 
の極値を求めよ。 (3) 曲線
とこの曲線上の点P
における接線とが点Pのほかに共有点をもたないとする。このようなaの値をすべて求めよ。 (一部省略)
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解答 もとの問題の一部を削除しました。もとの問題には、計算で(3)を解決するための誘導がついているのですが、ここでは、一般的に対応できるように、計算によらない考え方を試みます。
......[答]
......[答]
(2) 
とすると、
(複号同順)増減表より、
において極小値：
，
において極大値：
......[答] (関数の増減を参照)
(3) 
とすると、
の増減表は以下のようになります。ここで、
です。
以後、
の解を
，
(
)，
の解を
，
，
(
)とおきます。
です。
また、
，
です。 ･･･①
の解は
，
において
，
において
･･･②
さて、題意より、と、点P
における接線 を連立し、
(左辺を
とおきます) ･･･③とすると、この方程式(
)は、
(これが解であることは明らかです)以外の解をもちません。
のグラフを調べてみます。 よって、
は
と同様に以下の増減表のように変化します。ここで、
なので、
は、
において最小値
をとり、
において最大値
をとります。
これより、 (i) 
のとき、最小値
より、
であり、
は増加関数です。従って、
，即ち③は、
以外の解をもちません。 (ii) 
のとき、最大値
より、
であり、
は減少関数です。従って、
，即ち③は、
以外の解をもちません。 (iii) 
のとき、
の増減表より、
，
，
より、方程式
は、
以外に、
の範囲にもう1解dをもちます。 これより、
における
の増減表は以下のようになります。このとき、
，また①より、
です。
増減表より、
であり、方程式
は、
の範囲に
以外の解をもつので、不適です。 (iv) 
のとき、
の増減表より、
，
，
より、方程式
は、
以外に、
の範囲にもう1解dをもちます。 これより、
における
の増減表(
においても
は正になったり負になったりする可能性があります)は以下のようになります。このとき、
，また①より、
です。
増減表より、
であり、方程式
は、
の範囲に
以外の解をもつので、不適です。 (v) 
のとき、
ですが、
において
より
は減少関数で、
ですがこの前後で
の符号は正から負に変わり、
の増減表は以下のようになります。 
，
(∵ ②)と増減表より、方程式
，即ち③は、
以外の解をもちません。(vi) 
のとき、
の増減表より、
，
と
より
，従って、方程式
は、
以外に、
の範囲にもう1解dをもちます。 これより、
の増減表は以下のようになります。このとき、
，また①より、
です。
増減表より、
であり、方程式
は、
の範囲に
以外の解をもつので、不適です。 (vii) 
のとき、
の増減表より、
，
と
より
，従って、方程式
は、
以外に、
の範囲にもう1解dをもちます。 これより、
の増減表は以下のようになります。このとき、
，また①より、
です。
増減表より、
であり、方程式
は、
の範囲に
以外の解をもつので、不適です。 (viii) 
のとき、
ですが、
において
より
は増加関数で、
ですがこの前後で
の符号は負から正に変わり、
の増減表は以下のようになります。 
，
(∵ ②)と増減表より、方程式
，即ち③は、
以外の解をもちません。(ix) 
のとき、
の増減表より、
，
より、方程式
は、
以外に、
の範囲にもう1解dをもちます。 これより、
における
の増減表は以下のようになります。このとき、
，また①より、
です。
増減表より、
であり、方程式
は、
の範囲に
以外の解をもつので、不適です。 また、②と
より、
において、
，
における増減表は、以下のようになります。以上より、方程式
，即ち③は、
以外の解をもちません。 (xi) 
のとき、
の増減表より、
，
より
となるので、方程式
は、
以外に、
の範囲にもう1解dをもちます。 これより、
における
の増減表(
においても
は正になったり負になったりします)は以下のようになります。このとき、
，また①より、
です。
増減表より、
であり、方程式
は、
の範囲に
以外の解をもつので、不適です。 以上ですべての場合を調べましたが、求めるaの値は、
，
，
，
，
，つまり、
，
，1 ......[答]
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のとき、
より
，
