関数の増減 関連問題
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ある区間で定義された関数が、その区間内でを満たす任意の,に対して、
を満たすとき、を増加関数と言う。
を満たすとき、を減少関数と言う。
開区間において微分可能な関数が、この区間において、
(i) ならば、は増加関数
(ii) ならば、は減少関数
(iii) ならば、は定数関数
[証明] を満たす任意の,に対して、関数は、閉区間で連続、開区間で微分可能だから、平均値の定理の要件を満たします。
平均値の定理より、,を満たすcが存在します。
(i) ならば、より、は増加関数です。
(ii) ならば、より、は減少関数です。
(iii) ならば、が、を満たす任意の,に対して成り立つので、は定数です。 (証明終)
上記の事実によって、増減表で、の区間に増加を表すマークを書き入れ、の区間に減少を表すマークを書き入れることになります。
例1 関数の増減を考えます。
のとき、
のとき,のとき
においてで増加,においてで減少,においてで増加となります。
増減表は以下のようになります。
例2 関数 ()の増減を考えます。
のとき、,
のとき,のとき,のとき
のときで増加、のときで減少、のときで増加、のときで増加となります。
増減表は以下のようになります。
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