関数の増減 関連問題
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ある区間で定義された関数
が、その区間内で
を満たす任意の
，
に対して、
を満たすとき、
を増加関数と言う。
を満たすとき、
を減少関数と言う。
開区間
において微分可能な関数
が、この区間において、
(i) 
ならば、
は増加関数
(ii) 
ならば、
は減少関数
(iii) 
ならば、
は定数関数
[証明] 
を満たす任意の
，
に対して、関数
は、閉区間
で連続、開区間
で微分可能だから、平均値の定理の要件を満たします。
平均値の定理より、
，
を満たすcが存在します。
(i) 
ならば、
より、
は増加関数です。
(ii) 
ならば、
より、
は減少関数です。
(iii) 
ならば、
が、
を満たす任意の
，
に対して成り立つので、
は定数です。 (証明終)
上記の事実によって、増減表で、
の区間に増加を表すマーク
を書き入れ、
の区間に減少を表すマーク
を書き入れることになります。
例1 関数
の増減を考えます。
のとき、
のとき
，
のとき
において
で増加，
において
で減少，
において
で増加となります。
増減表は以下のようになります。
例2 関数
(
)の増減を考えます。
のとき、
，
のとき
，
のとき
，
のとき
のとき
で増加、
のとき
で減少、
のとき
で増加、
のとき
で増加となります。
増減表は以下のようになります。
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