平均値の定理 関連問題
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ロール(Rolle)の定理：関数
が、閉区間
において連続かつ、開区間
において微分可能なとき、
が成り立つならば、
，
を満たすcが存在する。
[証明] 
は
において連続だから、最大値・最小値の定理により、この範囲に最大値、最小値をもちます。
，
として、
が最大値、
が最小値だとします。
・
のとき、最小値は最大値以下なので
です。 
なら、
は
においてつねに
(
は定数関数)ということなので、
，つまり、
であり、
を満たす任意のcについて、
です。
・
だとします。
です。 
，
のとき、
が最小値なので、
であって、
∴ 
･･･①
，
のとき、
が最小値なので、
であって、
(
に注意)∴ 
･･･②
は微分可能なので、①，②より、
において、
∴ 
よって、
とすれば、
，
を満たすcが存在します。
・
のとき、
です。 
，
のとき、
が最大値なので、
であって、
∴ 
･･･①
，
のとき、
が最大値なので、
であって、
(
に注意)∴ 
･･･②
は微分可能なので、
において、
(∵ ①，②)∴ 
よって、
とすれば、
，
を満たすcが存在します。
以上より、
，
を満たすcが存在します。 (証明終)
ラグランジュ(Lagrange)の平均値の定理：関数
が、閉区間
において連続かつ、開区間
において微分可能なとき、
，
注．この定理が、高校の教科書・参考書に「平均値の定理」として載っている定理です。
[証明] 関数：
は、閉区間
において連続かつ、開区間
において微分可能な関数であり、
，
より、
よって、
はロールの定理の要件を満たすので、ロールの定理より、
，
を満たすcが存在します。
より、
のとき、
よって、
，
を満たすcが存在します。 (証明終)
平均値の定理の左辺は、
のグラフ上の2点A
，B
を結ぶ直線の傾きで、平均変化率です。
という範囲の中で両端を結ぶ直線ABと平行な接線をこの範囲の中のどこかで引くことができる、というのが、平均値の定理の視覚的意味です。覚えるときは、文字情報で覚えないで、視覚的意味の方を覚えましょう。
例．不等式：
を示す。
は
において微分可能な関数。
平均値の定理より、
として、
，
を満たすcが存在する。
より、
∴ 
コーシー(Cauchy)の平均値の定理：関数
，
が、閉区間
において連続かつ、開区間
において微分可能で、
，
であるとき、
，
を満たすcが存在する。
[証明] 関数：
は、閉区間
において連続かつ、開区間
において微分可能な関数であり、
，
より、
よって、
はロールの定理の要件を満たすので、ロールの定理より、
，
を満たすcが存在します。
より、
のとき、
よって、
，
を満たすcが存在します。 (証明終)
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