金沢大理系数学'09年前期[3]
とし、点Oを原点とするxy平面において、3点O，A
，B
を頂点とする三角形OABと、互いに相似な3つの二等辺三角形
，
，
を考える。ここで、辺AB，OB，OAはそれぞれの二等辺三角形の底辺であり、点
は直線ABに対して点Oと反対側に、点
は第2象限に、点
は第4象限に、それぞれあるとする。
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 点
，
の座標を、r，tの式で表せ。 (3) 2直線
と
の交点をM
とする。比
をr，tの式で表せ。 (4) 点
の座標をr，tの式で表し、3直線
，
，
が1点で交わることを示せ。
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解答 図形と方程式の分野の基本問題なのですが、問題文に想定されている状況がわかりにくく、基本問題と侮れない問題です。状況を把握することから既に問題になっていると思ってください。また(4)では、図形的な特質を活かして考えないと面倒なことになります。
(1) 
からOBに垂線
を、
からOAに垂線
を下ろします。
として、
，
(
)です。
(2) 直線
は、2点A
，
を通るので、傾きは
(
)、方程式は、 ∴ 
......[答] ･･･①
直線
は、2点B
，
を通るので、傾きは
(
)、方程式は、 ∴ 
......[答] ･･･②
(3) ②×
－①より、 ∴ 
②より、 ∴ 
......[答]
(4) 
からABに垂線
を下ろします。
はABの垂直二等分線ですが、直線
の方程式を求め、この直線上の点と点Bとの距離を考える、というようなことをやり出すと大変なことになります。 △OABと△
が相似なことから、 よって、
Fの座標は
なので、
の座標は
......[答]
(3)より直線OMの傾きは
です。
は直線OM：
上の点なので、3直線
，
，
は1点で交わります。
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，および直線
の方程式を
の形で求めよ。
，
......[答]
，
，また、△
と△
が相似なことから、
：EF：
= OA：OB：AB = 1：r：
