名大理系数学'09年前期[4B]
x，yを正の整数とする。
(1) 
をみたす組
をすべて求めよ。 (2) pを3以上の素数とする。
をみたす組
のうち、
を最小にする
を求めよ。
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解答 整数解を求める問題では、(整数A)×(整数B)=(整数C)という形を目指すとうまく行くときがあります。(整数A)×(整数B)=(整数C)となれば、(整数A)，(整数B)は(整数C)の約数に限られます。なお、整数を参照してください。
(1) 
両辺に
をかけて、 両辺に32を加えて、整数同士の積の形を作ります。
，
は32の約数なので、
，
，即ち、
，
より、以下の表に示す6つの場合に限られます。 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| x | 9 | 10 | 12 | 16 | 24 | 40 |
| y | 36 | 20 | 12 | 8 | 6 | 5 |
表より、
，
，
，
，
，
......[答]
(2) 
両辺に
をかけて、 両辺に
を加えて、整数同士の積の形を作ります。 pが3以上の素数で
，
は
の約数なので、
，
より、以下の表に示す6つの場合に限られます。
の6通りの値の中では、
なので、
を含むもので
の係数の大きいものが大きく、大きい順に、 となりそうです。これを確かめてみます。
より、 以上より、
よって、
の最小値は
で、表より、このとき、 
......[答]
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