整数 関連問題
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指を折って1つ，2つ，3つ，･･･，と数えられる数を自然数と言います。
2つの自然数n，m (
)を持ってきたとき、
は自然数になりません。
のとき、
のとき、
は自然数ですが、
をkを使って、
と書くと約束されています。自然数kを正の整数、
を負の整数と呼ぶと約束します。
正の整数，0，負の整数を合わせて、単に整数と呼びます。
整数は、和＋、差－、積×について閉じています。
つまり、2つの整数n，mを持ってくると、
，
，
のいずれもまた整数になるという性質を持っています。
ですが、商÷については、閉じていません。
は整数になるとは限りません。
整数kがあって、
と書けるとき、つまり、
となるとき、”nはmで割り切れる”と言います。
このとき、nをmの倍数と言い、mをnの約数と言います。
全ての整数は1の倍数であり、1は全ての自然数の約数です。
2の倍数を偶数、2の倍数でない整数を奇数と言います。2の倍数は1の位の数字が偶数です。
全ての整数について、0をかけると0になるので、0は全ての整数の倍数です。
自然数nを10進法で表したとき、
として、各桁の数字(
，
，
，･･･，
は整数、
，
，
，･･･，
)の和
とします。
・Nが3の倍数 ⇔ nは3の倍数
・Nが9の倍数 ⇔ nは9の倍数
・nの下2桁が4の倍数 ⇔ nは4の倍数
・nの1の位の数字が0か5 ⇔ nは5の倍数
整数nが、整数m，k，r (ただし、
とします)を用いて、
･･･①
と書けるとき、
のときには、nはmで割り切れますが、
のときには、nはmで割り切れません。このときにrを余りと言います。
①式は、整数の問題でよく使われる式です。
という具合にすぐに思い出せるようにしておきましょう。
は商が2，余りが3です。
定理 任意の整数nと、自然数mについて、
(
)を満たす整数k，rはただ1通りに決まる(これを、「k，rは一意的」と言います)。
証明 仮に、
となる整数sを用いて、
･･･②
･･･③
と2通りに書けたとします。
②－③より、
つまり、
･･･④
となりますが、この式は、
が
の倍数であることを意味しています。
ところが、
，
なので、
です。
より大きくmより小さいmの倍数は0しかありません。つまり、④より、
かつ
つまり、
かつ
です。
これは、②の形となる整数k，r (
)がただ1通りに決まることを意味しています。(証明終)
2つの整数m，nに対して、mの倍数であって、かつ、nの倍数である整数をm，nの公倍数と言います。
m，nが自然数のときに、公倍数の中で最小のものを最小公倍数と言い、
と書きます。
2つの整数m，nに対して、mの約数であって、かつ、nの約数である整数をm，nの公約数と言います。
m，nが自然数のときに、公約数の中で最大のものを最大公約数と言い、
と書きます。
2つの自然数m，nの最大公約数が1のとき、m，nは互いに素であると言います。
1と自分自身以外の約数を持たない自然数を素数と言います。素数を小さい順に並べると、2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，･･････
自然数mをいくつかの素数p，q，･･･，rの積の形
(i，j，･･･，kは自然数)に表すことを素因数分解と言います。
aとbの小さくない方を
で表すことにします。つまり、
です。同様に、aとbの大きくない方を
で表すことにします。つまり、
です。
2つの自然数m，nの素因数分解が、
，
だとすると、
m，nの最小公倍数は、
m，nの最大公約数は、
です。
例．54と72の最小公倍数と最大公約数を考えます。
54の素因数分解は、
72の素因数分解は、
両者の2の指数を比べると、54では1，72では3です。大きい方が3，小さい方が1で、
，
です。
3の指数を比べると、54では3，72では2です。
，
従って、54と72の最小公倍数は、
54と72の最小公倍数は、
ところで、
です。なぜなら、
のときは、
，
で、
です。
のときは、
，
で、
です。
のときも、
で、
です。
これより、2つの自然数m，nの素因数分解が、
，
だとして、
となり、
例，54と72の最小公倍数は
，最大公約数は
です。
自然数nの素因数分解を
(
は自然数)とすると、nの約数は、
(
は整数であって、
，
，
，･･･)の
個あります。
約数の総和は、
例えば、
の約数は、
，
，･･･，
の
個あります。
504の約数の総和は、
です。
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