奈良県立医大数学'09年[1]
xyz空間において原点O
を中心とする半径1の球面をSとし、球面Sから点N
を除いた部分に属する点P
に対して、2点N，Pを通る直線とxy平面
との交点をQとおく。
(1) 点Qの座標を求めよ。
(2) 球面S上の任意の点Rに対してRのどんな近くにも、S上の点
で各座標a，b，cがすべて有理数からなるものが存在することを証明せよ。
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解答 (2)が問題ですが、「条件を満たす点が存在すること」の証明は、条件を満たす点を求める方法・手順を説明すればよいのです。指定された手順により条件を満たす点を定めることができる、ということは、条件を満たす点が存在する、ということです。
(1) 
直線NPとxy平面との交点においては、
として、 点Pは点Nと異なる点なので、
∴ 
，
よって、点Qの座標は、
......[答]
(2) 球面S上の任意の点Rについて、点Rが点N
の位置に来るように回転させて考えることにすれば、点Rが点Nだとして考えて一般性を失いません。 そこで、点Nのどんな近くにも、S上の点A
で各座標a，b，cがすべて有理数からなるものが存在することを証明することにします。
また、「点Nのどんな近くにも」という表現を、点Nのどんな近くに点Nとは異なる点P
をとったときにも、
を満たす点A
(a，b，cは有理数)が存在する、として考えます。
ここで、点Pを
の部分にとる場合には、点
の代わりに点
を点Pとして考えれば、
より、 なので、
であれば
です。
そこで、点Pを
の範囲にとって考えることにします。
球面S上の
の部分にあってNとは異なる任意の点Pに対し、(1)より、直線NPとxy平面との交点Qは
です。ここで、 
･･･①を満たす有理数r (どんな実数に対しても、それよりも大きな有理数は必ず存在します)と有理数k (kは何でもよい)をとって、
，
とすれば、X，Yは有理数であって、
･･･②このとき、球面S上の点A
で、直線NAとxy平面との交点が
となる点を考えます(点AはNとは異なり、また、
とします)。(1)と同様に、 
，
つまり、
，
･･･③点Aは球面S上の点なので、
②を用いて、
･･･④
より、
･･･⑤
となり、rは有理数なので、cは有理数です。よって、③より、a，bも有理数です。
(∵ ⑤) ･･･⑥①の右辺を
とおくと、 点Pは球面S上の点なので、
④と同様にして、
より、
⑥と同様にして、①：
より これは、任意の点Pに対してPよりもNに近い点Aが存在することを意味します。
即ち、点Nのどんな近くにも、S上の点A
で各座標a，b，cがすべて有理数 からなるものが存在し、題意は証明されました。(証明終)
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