静岡大理系数学'09年[1]
次の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nに対して、
は21で割り切れることを証明せよ。 (2) 次の条件を満たす定数でない多項式
を推定し、その推定が正しいことを証明せよ。 (a) 
(b) すべての自然数nに対して、
は
で割り切れる。
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(2)は平凡にやってもできますが、因数定理を利用するとラクに証明ができます。
(T)
のとき、
は21で割り切れるので、成り立ちます。 (U)
のとき成り立つと仮定すると、
(m:整数) ・・・@とおくことができます。
のとき、 は、21で割り切れるので、成り立ちます。
(T),(U)より、すべての自然数nに対して、
は21で割り切れます。(証明終)
(2)
とおきます。
,
をともに割り切る多項式は
なので、
と推定することができます。より、条件(a)は満たされています。
が条件(b)を満たすことを、数学的帰納法で証明します。
・・・Aとおくことができます。但し、
はxの多項式です。 (T),(U)より、すべての自然数nに対して、
は、
で割り切れます。(証明終)別解.
が条件(b)を満たすことについては、以下のように証明することもできます。
の解は、
とすると、
の2解は、
です。つまり、
・・・B
(∵
)よって、因数定理より、
は、
でも
でも割り切れて、
で割り切れます。
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