静岡大理系数学'09年[1]
次の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nに対して、
は21で割り切れることを証明せよ。 (2) 次の条件を満たす定数でない多項式
を推定し、その推定が正しいことを証明せよ。 (a) 
(b) すべての自然数nに対して、
は
で割り切れる。
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(2)は平凡にやってもできますが、因数定理を利用するとラクに証明ができます。
(Ⅰ) 
のとき、
は21で割り切れるので、成り立ちます。 (Ⅱ) 
のとき成り立つと仮定すると、 
(m：整数) ･･･①とおくことができます。
のとき、 は、21で割り切れるので、成り立ちます。
(Ⅰ)，(Ⅱ)より、すべての自然数nに対して、
は21で割り切れます。(証明終)
(2) 
とおきます。 
，
をともに割り切る多項式は
なので、
と推定することができます。より、条件(a)は満たされています。
が条件(b)を満たすことを、数学的帰納法で証明します。 
･･･②とおくことができます。但し、
はxの多項式です。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、すべての自然数nに対して、
は、
で割り切れます。(証明終)別解．
が条件(b)を満たすことについては、以下のように証明することもできます。
の解は、
とすると、
の2解は、
です。つまり、 
･･･③
(∵ 
)よって、因数定理より、
は、
でも
でも割り切れて、
で割り切れます。
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(∵ ①)
のとき、
は、
で割り切れます。
のとき、
が
で割り切れると仮定すると、
(∵ ②)
のときも、
は
で割り切れます。
より、
，また、
とおくと、③より、
ゆえ、
