東北大理系数学'09年前期[5]
a，b，c，d，p，qは
，
，
を満たす実数とする。2つの行列
と
が
を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
が成り立つことを示せ。 (2) Aをpとqで表せ。
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解答 成分計算をしてしまえば解決できますが、ハミルトン・ケーリーの定理を利用して、成分計算をできるだけ抑えて解答してみます。
に右からPをかければ、
･･･①
ハミルトン・ケーリーの定理より、
①より、
∴ 
･･･②
成分と
成分を比較して、
，
，
より、(i) 
または (ii) 
(i) 
のとき、
より、このとき、
となり、
(ii) 
のとき、 ②より、
∴ 
，
より、
･･･③
これは、
に反するので不適。 以上より、
......[答]
が成立します。
注．
であっても、
(i)では、
で、
③とハミルトン・ケーリーの定理より、
これより、
が成立します。
別解．(1)だけであれば、
の左から
をかけて、
の右から
をかけて、
これより、
が成立します。
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，
，
より、
，
より、a，dは同符号で、
，
より、
