千葉大数学'10年前期[10]
以下の問いに答えよ。
(1) 
をみたす正の整数の組
をすべて求めよ。 (2) 
をみたす正の整数の組
をすべて求めよ。
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解答 見慣れない整数問題ですが、基本に従って、「整数×整数＝整数」の形を目指します。
(1) 
nは正の整数なので、
(
)，
(
)は
の約数です。mを
を満たす整数として、 
･･･①とおくと、
･･･②①より、
②に代入して、 中カッコ内は3の倍数ではないので、
，
･･･③に限られます。
......[答]
(2) 
の形のままでは、「整数×整数＝整数」の形が作れません。手がかりを探します。 まず、
は奇数、40は偶数なので、
は奇数で、kも奇数です。mを正の整数として、 とおくと、
これより、
は4で割ると1余る整数です。
は4で割ると3余り、
は4で割ると1余ります(この後、
，
，･･･を4で割ると余りは3，1，3，1，･･･と繰り返します)。
を4で割ったときの商をs，余りをr (
)とすると、 これより、
を4で割ったときの余りは
を4で割ったときの余りに一致します。
よって、
を4で割ったときの余りが1になるのは、nが偶数のときです。となれば、目標の形が見えてきます。pを正の整数として、
とおくと、 
･･･④
･･･⑤
，
は40の約数で、1，2，4，5，8，10，20，40のいずれかです。
より、
に限られます。(i) 
のとき、
⑤より、
これを満たす整数kはありません。 (ii) 
のとき、
(iii) 
のとき、
(iv) 
のとき、
⑤より、
これを満たす整数kはありません。 以上より、
......[答]
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