愛媛大理系数学'10年[3]
2つの数列
，
は、すべての自然数nについて
， 
(1) 初項が
であるとする。 (ii) 
，
を表すnの式を推定し、それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。 (2) 初項が
，
であるとする。 (ii) 
を求めよ。
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解答 定型的でない連立漸化式の問題です。ビックリするような初項の(2)で、なあんだ、という気にさせられます。(2)を先にやる方が良いのですが、(1)の段階で気づけるでしょうか？
(1)(i) 
......[答] 
......[答]
......[答]
......[答](ii) 
これより、
，
と推定することができます。推定が正しいことを数学的帰納法で証明します。 (Ⅱ) 
のとき推定が成り立つ、つまり、
，
と仮定します。 よって、
のときも成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、推定が正しいことが証明されました。
(2)(i) 
......[答](ii) 
(i)より、
これより、
と仮定すると、(i)より、 よって、帰納的に、すべての自然数nについて、
......[答] 注意．(2)(i)は、初項が
，
でなくても成立します。(1)の初項も
を満たすので、(1)でも
が成立します。(1)では、これに気づかなくても、計算がややこしいというわけではないので、実害はないと思いますが、実害があるような入試問題もあるかも知れません。(1)で難航するようなら、(2)も見てみる、という心がけをもつようにしましょう。
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，
，
，
を求めよ。
を
，
で表せ。
のとき、
，
より、推定は成り立ちます。
