名大数学'10年[4]
xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。
(1) 
のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ。 (2) a，bは実数で
とする。
のグラフ上に、点
以外に格子点が2つ存在すれば、無限個存在することを示せ。
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解答 「無限個」であることをどう示すか、という問題です。なお、整数を参照してください。
(1) 
xが6の倍数であるとき、
，
はともに整数で、yも整数となり、6の倍数は無限に存在するので、
のグラフ上に無限個の格子点が存在します。
(2) 
のグラフ上の
以外の2個の格子点を
，
(m，n，p，qは整数、
，
)とします。格子点が2つ存在するので、
です。 
･･･①
･･･②①×n－②×mより、
∴ 
xが
の倍数であるとき、
，
はともに整数で、yも整数となり、
の倍数は無限に存在するので、
のグラフ上に、点
以外に格子点が2つ存在すれば、無限個存在します。
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－②×
より、
