新潟大数学'10年[2]
次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列
について考える。
(ア) 
である。 (イ) 
，
，･･･，
，･･･ はどれも自然数である。 (ウ) 
，
，･･･，
，･･･ の中にはすべての自然数kが現れ、その個数はk以上
以下である。 条件(ア)～(ウ)を満たし、すべての自然数kがちょうどk個現れる数列
を
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 項数5の数列で、数列
の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ。 (2) 数列
の第210項
の値を求めよ。 (3) 
のとり得る最小の値を求めよ。
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解答 群数列の問題です。各群の個数から、指定された項がどの群に属するか、ということを不等式を書いて求めます。なお、Σの公式を参照してください。
(1) 条件(ア)(イ)より数列各項は小さい順に、'1'，'2'，'3'，･･･と現れます。条件(ウ)より、'1'は1個以上3個以下、'2'は2個以上4個以下、'3'は3個以上5個以下続きます。以下で、数列
を
と表すことにします。集合の記号を用いて書きますが、集合の要素は順序づけられていると思ってください。 1が1個、2が2個、3が3個以上になれば初めの5項は、
1が1個、2が3個、3が3個以上になれば、
1が1個、2が4個になれば、
1が2個、2が2個、3が3個以上になれば、
1が2個、2が3個になれば、
1が3個、2が2個になれば、
これで全部です。
，
，
，
，
，
......[答] 注．入試の答案として単に結果を書くだけであれば、
=
，
，
，
，
，
と書くのがよいように思います。
(2) kがk個続くところを第k群とすると、第k群までの項数は、
第210項が第k群に属するとして、
･･･①となるはずですが、
なので、
です。
これより、
......[答]
(3) (1)の結果を見ていると、
が最小になるのは、同じ自然数が最も多く続くときで、'1'が3個、'2'が4個、'3'が5個、･･･、'k'が
個続くときです。kが
個続くところを第k群とすると、第k群までの項数は、 ①と同様にして、第50項が第k群に属するとして、
･･･②
より、②を満たすkは、
です。
第8群までの項数は、 です。第52項までであれば、'8'は10個続きますが、第50項まででは、'8'は8個続くことになります。よって、このとき、
......[答]
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