阪大理系数学'10年前期[4]
半径3の球と半径1の球が、内接した状態で空間に固定されている。半径1の球Sが次の条件(A)，(B)を同時にみたしながら動く。
(A) Sはの内部にあるかに内接している。
(B) Sはの外部にあるかに外接している。
Sの中心が存在しうる範囲をDとするとき、立体Dの体積を求めよ。


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解答　空間図形の体積の問題ですが、球を円と読み替えれば、二球の位置関係を二円の位置関係として考えて行くことができます。立体Dがどういう図形になるのか、ある程度の説明は必要でしょう。

球の中心を原点、これに内接する球の中心の座標をとするような座標系をとります。また、球の半径を，球の半径をとします。

球Sの半径をとし、球Sの中心と球の中心との距離をとすると、条件(A)より、中心間距離は半径の差以下(二円の位置関係を参照)なので、
　･･･①
球Sの中心と球の中心との距離をとすると、条件(B)より、中心間距離は半径の和以上なので、
　･･･②
球Sの中心の座標をとすると、①より、
　･･･③
②より、
　･･･④
(A)かつ(B)，即ち、③かつ④を満たす範囲Dは、xを固定して考えれば(x軸に垂直な平面上では円周とその内部、または、2つの円周に挟まれた部分になる)わかるように、x軸のまわりに回転しても同じ範囲(回転対称)になります。
よって、立体Dを、xy平面()で切断したときの断面(右図黄緑色着色部分)をx軸のまわりに回転させた図形として考えることができ、立体Dの体積を回転体の体積として求めることができます。
右図断面は、
かつ
として表せますが、円から、 かつ を満たす部分(範囲Eとします)を除いた図形です。範囲Eは、2本の境界線はどちらも半径1の円なのでに関して対称であって、範囲Eをx軸のまわりに回転させた回転体の体積は、円のの部分をx軸のまわりに回転させた回転体の体積の2倍です。
より、
よって、
　(x軸のまわりの回転体を参照)
立体Dの体積Vは、半径2の球の体積からを引いて、
......[答]



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