九大数学'10年前期[1]
三角形ABCの3辺の長さを，，とする。実数を与えたとき、Aを始点としBを通る半直線上にとなるように点Pをとる。次の問いに答えよ。
(1) をa，b，c，tを用いて表せ。
(2) 点Pがを満たすとき、tを求めよ。
(3) (2)の条件を満たす点Pが辺AB上にちょうど2つあるとき、とに関する条件を求めよ。


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解答　余弦定理を使って解決します。

(1) 余弦定理：より、
......[答]

(2) (1)とより、

∴
Pは半直線AB上の点なので、です。のときに限っても解になります。
，のときのみ ......[答]

(3) (2)の結果で、に対応する点P，つまりとなる半直線AB上の点Pは、点Bに一致するので、辺AB上の点です。従って、「(2)の条件を満たす点Pが辺AB上にちょうど2つある」ためには、であればよいことになります。よって、
かつ 　･･･②
ここで、 ⇔
また、のとき、 (余弦定理を参照)より
∴ ② ⇔ ......[答]


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