九大数学'11年前期[5]
1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。その4枚のカードを横一列に並べ、以下の操作を考える。
操作：1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が入っている袋から同時に2個の球を取り出す。球に書かれた数字がiとjならば、iのカードとjのカードを入れ替える。その後、2個の球は袋に戻す。
はじめにカードを左から順に1，2，3，4と並べ、上の操作をn回繰り返した後のカードについて、以下の問いに答えよ。
(1) 
のとき、カードが左から順に1，2，3，4と並ぶ確率を求めよ。 (2) 
のとき、カードが左から順に4，3，2，1と並ぶ確率を求めよ。 (3) 
のとき、左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。 (4) 
のとき、左端のカードの数字の期待値を求めよ。
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解答 (4)では、左端に2が来るのも、3が来るのも、4が来るのも同じ確率です。
数字1，2，3，4が書かれた球を①，②，③，④と表すことにします。
4個の球から2個の球を取り出す取り出し方は、
通りあります。
1回の操作で、数字1が書かれたカードが左端にいるのは、②，③，④の3個の中から2個を取り出した場合で、
通りあって、こうなる確率は
です。
1回の操作で、数字1が書かれたカードが左から2番目にいるのは、①と②を取り出した場合で、こうなる確率は
，同様に、数字1が書かれたカードが左から3番目にいる確率も、4番目にいる確率も
です。
(1) 
のとき、カードが左から順に1，2，3，4と並ぶのは、1回目に取り出した2個の球の組み合わせが6通りのいずれであっても、2回目に取り出した2個の球の組み合わせが、1回目に取り出した2個の球の組み合わせと同じになる場合です。 この確率は、
......[答]
(2) 
のとき、カードが左から順に4，3，2，1と並ぶのは、1回目に取り出した2個の球の組み合わせが①と④で、2回目に取り出した2個の球の組み合わせが②と③、あるいは、1回目に取り出した2個の球の組み合わせが②と③で、2回目に取り出した2個の球の組み合わせが①と④になる場合です。 この確率は、
......[答]
(3) 上記の検討により、1回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいる(確率
)とき、2回の操作で数字1が書かれたカードが左端にくるのは、2回目の操作でも、②，③，④の3個の中から2個を取り出した場合で、こうなる確率は、
です。 1回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいない(確率
)とき、2回の操作で数字1が書かれたカードが左端に来るのは、2回目の操作で、左端にいるカードと同じ数字の球と①を取り出す場合で、こうなる確率は、
です。
求める確率は、
......[答]
(4) (3)の結果より、2回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいる(確率
)とき、3回の操作で数字1が書かれたカードが左端にくるのは、3回目の操作で、②，③，④の3個の中から2個を取り出した場合で、こうなる確率は、
です。 2回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいない(確率
)とき、3回の操作で数字1が書かれたカードが左端にくるのは、3回目の操作で、左端にいるカードと同じ数字の球と①を取り出す場合で、こうなる確率は、
です。3回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいる確率は、
です。
上記の検討より、1回の操作後に、数字1が書かれたカードが左から2番目、3番目、4番目にいる確率は等しく
です。各回の操作前に、数字1が書かれたカードがどの位置にいても、その回の操作で左から2番目、3番目、4番目にくる確率は等しくなります。数字2，3，4の書かれたカードについても同様のことが言えます。
従って、3回の操作で、左端に数字2が書かれたカードが来る確率も、数字3が書かれたカードが来る確率も、数字4が書かれたカードがくる確率も等しくなり、いずれも、 
......[答]
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