横浜国大理工数学'11年前期[3]
1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを
，
(
)，
となるようにとる。
，
，
とおくとき、次の問いに答えよ。
(2) 
のとき、t の値を求めよ。 (3) 3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき、線分BGの長さをt を用いて表せ。
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解答 空間ベクトルの基本問題です。
......[答]
......[答]
(2) 
より、 ∴ 
......[答]
(3) GはBC上の点なので、kを実数として、
とおくことができます。 
･･･①また、Gは、3点D，E，Fが定める平面上の点なので、実数p，qを用いて、
と表すことができます。
･･･②①，②より、係数を比較して、
③より、
⑤に代入して、
をかけて、
∴ 
④に代入して、 ∴ 
(
) 線分BGの長さは、
......[答]
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，
を
，
，
，t を用いて表せ。
，
，
より、
･･･③
･･･④
･･･⑤
(
，
より、
，
)