阪大理系数学'13年前期[4]
xyz空間内の3点O
，A
，B
を頂点とする三角形OABをx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする。円すいVをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
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解答 問題文を一見してぎょっとしますが、断面を考えていけば素直に解決します。
直円錐をその軸に平行な平面で切ると、切り口に双曲線ができます。
三角形OABをx軸のまわりに1回転させてできる円錐Vを、x軸に平行な平面
(
)で切ると、切り口にやはり双曲線ができます。
この双曲線の頂点は、直線OB：
と、平面
との交点C
になります。
円錐Vの底円は、点Aを中心とする半径1の円で、この円はx軸と垂直です。
この円の円周と平面
との交点は、
です。プラスの方をP，マイナスの方をQとし、円錐Vをy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面
で切ると、3点C，P，Qを通る放物線と線分PQとで囲まれる図形Wをy軸のまわりに回転させた図形が切り口にできます。
図形W内の点でy軸との距離が最小となる点はCで、最大となる点はPとQです。
図形Wをy軸のまわりに1回転させると、D
を中心とし、DPを半径とする円からDCを半径とする円を除いた図形Uになります。
この図形Uが、円錐Vをy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面
で切ったときにできる図形です。
より、図形Uの面積
は、
求める体積は、立体がxy平面に関して対称であることを考慮して、
......[答]
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