大阪大学理系2013年数学入試問題


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[1] 三角関数の極限に関する公式
を示すことにより、の導関数がであることを証明せよ。
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[2] 不等式
の表す領域をxy平面に図示せよ。
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[3] 4個の実数
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。
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[4] xyz空間内の3OABを頂点とする三角形OABx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする。円すいVy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
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[5] n3以上の整数とする。n個の球,・・・・・・,n個の空(から)の箱,・・・・・・,がある。以下のように、,・・・・・・,の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球を箱,・・・・・・,のどれか
1つに無作為に入れる。次に、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、について、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか
1つに無作為に入れる。
(1) が入る箱はまたはである。これを証明せよ。
(2) に入る確率を求めよ。
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