大阪大学理系2013年数学入試問題
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[1] 三角関数の極限に関する公式
を示すことにより、
の導関数が
であることを証明せよ。
[解答へ]
[2] 不等式
の表す領域をxy平面に図示せよ。
[解答へ]
[3] 4個の実数
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。
[解答へ]
[4] xyz空間内の3点O
，A
，B
を頂点とする三角形OABをx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする。円すいVをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
[解答へ]
[5] nを3以上の整数とする。n個の球
，
，･･････，
とn個の空(から)の箱
，
，･･････，
がある。以下のように、
，
，･･････，
の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球
を箱
，
，･･････，
のどれか1つに無作為に入れる。次に、球
を、箱
が空ならば箱
に入れ、箱
が空でなければ残りの
個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、
について、球
を、箱
が空ならば箱
に入れ、箱
が空でなければ残りの
個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
(2) 
が
に入る確率を求めよ。 [解答へ]
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，
が入る箱は
または
である。これを証明せよ。