阪大理系数学'13年前期[5]
nを3以上の整数とする。n個の球
，
，･･････，
とn個の空(から)の箱
，
，･･････，
がある。以下のように、
，
，･･････，
の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球
を箱
，
，･･････，
のどれか1つに無作為に入れる。次に、球
を、箱
が空ならば箱
に入れ、箱
が空でなければ残りの
個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、
について、球
を、箱
が空ならば箱
に入れ、箱
が空でなければ残りの
個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
(2) 
が
に入る確率を求めよ。
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解答 (2)が難問ですが、
が箱
，箱
に入る場合と、箱
に入る場合と、それ以外の場合とに分け、それ以外の場合には球と箱が
個以下になる場合を考えればよいことに気づければ解答できます。なお、独立試行の確率を参照してください。
(1) 
は箱
，
，･･････，
のどれにも入る可能性があります。
(
)を入れ終わったとき、
を入れる時点で、
が空いていれば
が
に入り、空いていなければ、
には既に
～
のどれかが
に入っています。つまり、
を入れ終わった時点で
には必ず球が入っています。 従って、
を入れる時点で、
～
には必ず球が入っています。ということは、
が入る箱は
または
です。 (2) 以下で、箱を
で表し、左から順に
，
，
，･･･の順に並んでいるとします。また、箱に
が入ったとき、
と表すことにします。 まず、
の場合で、
が
に入る確率を考えてみます。
，
の入れ方について以下の場合が考えられます。 (i) 
を
に入れると、
が空いているので、
は
に入ります。 
確率
(ii) 
を
に入れると、
が空いていないので、
は
または
に入ります。 (iii) 
を
に入れると、
が空いているので、
は
に入ります。 
(i)と同様に、確率
が
に入る確率は
です。
の場合、
が
に入る確率を考えます。(i) 
を
に入れると、
，
が空いているので、
は
に
は
に入ります。 
確率
(ii) 
を
に入れると、
が空いていないので、
は
，
，
のどれかに入ります。この状況は、
→
，
→
，
→
，
→
と読み替えると、
のときの状況と同じで、
が
に入る確率は
でした。 (iii) 
を
に入れると、
が
に入ることはありません。 (iv) 
を
に入れると、(i)と同様に、
が
に入る確率は
です。 
が
に入る確率は、
です。
の場合、
が
に入る確率を考えます。(i) 
を
に入れると、
，
，
が空いているので、
は
に
は
に
は
に入ります。この確率は
(ii) 
を
に入れると、
が空いていないので、
は
，
，
，
のどれかに入ります。この状況は、
のときと同じで、このとき
が
に入る確率は、
(iii) 
を
に入れると、
は
に入るのですが、
が空いていないので、
は
，
，
のどれかに入ります。この状況は
のときの状況と同じで、このとき
が
に入る確率は、
です。 (iv) 
を
に入れると、
が
に入ることはありません。 (v) 
を
に入れると、(i)と同様に、
が
に入る確率は
です。 
が
に入る確率は、
です。
以上より、一般の整数n (
)の場合、球
を箱
に入れる確率は
になると予測できます。予測が成り立つことを数学的帰納法で示します。(Ⅰ) 
のときは上記より成立します。 (Ⅱ) 
のとき、
となる整数mについて、球と箱がm個あるときに、球
を箱
に入れる確率が
であると仮定します。 (i) 
を
または
に入れると、
は
(
)に入るので、
を
に入れる確率は各々
(ii) 
を
(
)に入れると、
を
に入れられなくなりますが、このときの状況は、球と箱の個数が
個 (
)だったときの状況と同じです。 
を
に入れる確率が
，その後の状況の確率は帰納法の仮定より
で、
を
に入れる確率は各々
，この場合は、
の
通りあります。(iii) 
を
に入れるときは、
が
に入ることはありません。 以上より、一般の整数n (
)の場合について予測は正しく、求める確率は、
......[答]
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が入る箱は
または
である。これを証明せよ。
が
に入ることはありません。
を
に入れる確率は
なので、このとき
が
に入る確率は、
を箱
に入れる確率は、