阪大理系数学'13年前期[5]
nを3以上の整数とする。n個の球，，･･････，とn個の空(から)の箱，，･･････，がある。以下のように、，，･･････，の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球を箱，，･･････，のどれか1つに無作為に入れる。次に、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、について、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
(1) が入る箱はまたはである。これを証明せよ。
(2) がに入る確率を求めよ。


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解答　(2)が難問ですが、が箱，箱に入る場合と、箱に入る場合と、それ以外の場合とに分け、それ以外の場合には球と箱が個以下になる場合を考えればよいことに気づければ解答できます。なお、独立試行の確率を参照してください。

(1) は箱，，･･････，のどれにも入る可能性があります。 ()を入れ終わったとき、を入れる時点で、が空いていればがに入り、空いていなければ、には既に～のどれかがに入っています。つまり、を入れ終わった時点でには必ず球が入っています。
従って、を入れる時点で、～には必ず球が入っています。ということは、が入る箱はまたはです。
(2) 以下で、箱をで表し、左から順に，，，･･･の順に並んでいるとします。また、箱にが入ったとき、と表すことにします。
まず、の場合で、がに入る確率を考えてみます。
，の入れ方について以下の場合が考えられます。
(i) をに入れると、が空いているので、はに入ります。
　確率
(ii) をに入れると、が空いていないので、はまたはに入ります。
　がに入ることはありません。
(iii) をに入れると、が空いているので、はに入ります。
　(i)と同様に、確率
がに入る確率はです。
の場合、がに入る確率を考えます。
(i) をに入れると、，が空いているので、はにはに入ります。
　確率
(ii) をに入れると、が空いていないので、は，，のどれかに入ります。この状況は、→，→，→，→と読み替えると、のときの状況と同じで、がに入る確率はでした。
をに入れる確率はなので、このときがに入る確率は、
(iii) をに入れると、がに入ることはありません。
(iv) をに入れると、(i)と同様に、がに入る確率はです。
がに入る確率は、です。
の場合、がに入る確率を考えます。
(i) をに入れると、，，が空いているので、はにはにはに入ります。この確率は
(ii) をに入れると、が空いていないので、は，，，のどれかに入ります。この状況は、のときと同じで、このときがに入る確率は、
(iii) をに入れると、はに入るのですが、が空いていないので、は，，のどれかに入ります。この状況はのときの状況と同じで、このときがに入る確率は、です。
(iv) をに入れると、がに入ることはありません。
(v) をに入れると、(i)と同様に、がに入る確率はです。
がに入る確率は、です。
以上より、一般の整数n ()の場合、球を箱に入れる確率はになると予測できます。予測が成り立つことを数学的帰納法で示します。
(Ⅰ) のときは上記より成立します。
(Ⅱ) のとき、となる整数mについて、球と箱がm個あるときに、球を箱に入れる確率がであると仮定します。
(i) をまたはに入れると、は ()に入るので、をに入れる確率は各々
(ii) を ()に入れると、をに入れられなくなりますが、このときの状況は、球と箱の個数が個 ()だったときの状況と同じです。
をに入れる確率が，その後の状況の確率は帰納法の仮定よりで、をに入れる確率は各々，この場合は、の通りあります。
(iii) をに入れるときは、がに入ることはありません。
よって、球を箱に入れる確率は、
以上より、一般の整数n ()の場合について予測は正しく、求める確率は、 ......[答]


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