阪大理系数学'13年前期[1]
三角関数の極限に関する公式
を示すことにより、
の導関数が
であることを証明せよ。
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解答 教科書をまる暗記せよということではないと思いますが、その場で考えるとしても、右図の状況と、
の場合に注意することは覚えておきたいものです。
直角三角形OABにおいて、
，
(xは弧度法で測るものとします。
です)，
とし、Oを中心とする円とOCとの交点をBとします。
の面積は
，扇形OABの面積は
，
の面積は
は扇形OABを含み、扇形OABは
を含むので、
(
)
なので、
で各辺を割ると、
各辺の逆数について、
ここで、
とすると、
，はさみうちの原理より、
の場合については、
として、
(
)とおくと、
のとき、
より、
のとき、
で、
以上より、
として、
注．
のとき、
，
∴ 
(微分の公式を参照)
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