微分の公式 関連問題
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(1)
(nは自然数)
(2) ![](frmlderiv.files/Eqn002.gif)
(3) ![](frmlderiv.files/Eqn003.gif)
(4) ![](frmlderiv.files/Eqn004.gif)
(5) ![](frmlderiv.files/Eqn005.gif)
(6) ![](frmlderiv.files/Eqn006.gif)
(7) ![](frmlderiv.files/Eqn007.gif)
(8) 対数微分法の公式:![](frmlderiv.files/Eqn008.gif)
(9)
(
)
(10) ![](frmlderiv.files/Eqn011.gif)
[証明] 導関数の公式:
を用いて証明しておきます。
(1)
のとき、
として、導関数の公式を用いると、![](frmlderiv.files/Eqn015.gif)
よって、
により成り立ちます。
のとき成り立つとして、
が成り立つとします。
積の微分法により、
を用いて、
![](frmlderiv.files/Eqn020.gif)
![](frmlderiv.files/Eqn021.gif)
よって、
のときにも成り立ちます。
数学的帰納法により、すべての自然数nについて、![](frmlderiv.files/Eqn023.gif)
(2)
として、導関数の公式を用いると、
![](frmlderiv.files/Eqn025.gif)
![](frmlderiv.files/Eqn026.gif)
![](frmlderiv.files/Eqn027.gif)
![](frmlderiv.files/Eqn028.gif)
![](frmlderiv.files/Eqn029.gif)
ここで、公式:
(極限の公式を参照)を用いることにより、![](frmlderiv.files/Eqn031.gif)
∴ ![](frmlderiv.files/Eqn032.gif)
(3) 合成関数の微分法により、![](frmlderiv.files/Eqn033.gif)
(4) 商の微分法により、
![](frmlderiv.files/Eqn034.gif)
![](frmlderiv.files/Eqn035.gif)
(5) 公式:
(極限の公式を参照)より、![](frmlderiv.files/Eqn037.gif)
(6) 公式:
(極限の公式を参照)より、
![](frmlderiv.files/Eqn039.gif)
![](frmlderiv.files/Eqn040.gif)
![](frmlderiv.files/Eqn041.gif)
(7) 合成関数の微分法より、![](frmlderiv.files/Eqn042.gif)
(8) 合成関数の微分法より、
(なお、対数微分法を参照)
(9) (8)において、
(
)とすると、![](frmlderiv.files/Eqn046.gif)
一方、![](frmlderiv.files/Eqn047.gif)
∴ ![](frmlderiv.files/Eqn048.gif)
∴
(
)
(10) (9)で
として、![](frmlderiv.files/Eqn052.gif)
∴ ![](frmlderiv.files/Eqn053.gif)
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