微分の公式 関連問題
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(1) (nは自然数)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) 対数微分法の公式:
(9) ()
(10)
[証明] 導関数の公式:を用いて証明しておきます。
(1) のとき、として、導関数の公式を用いると、
よって、により成り立ちます。
のとき成り立つとして、が成り立つとします。
積の微分法により、を用いて、
よって、のときにも成り立ちます。
数学的帰納法により、すべての自然数nについて、
(2) として、導関数の公式を用いると、
ここで、公式: (極限の公式を参照)を用いることにより、
∴
(3) 合成関数の微分法により、
(4) 商の微分法により、
(5) 公式: (極限の公式を参照)より、
(6) 公式: (極限の公式を参照)より、
(7) 合成関数の微分法より、
(8) 合成関数の微分法より、 (なお、対数微分法を参照)
(9) (8)において、 ()とすると、
一方、
∴
∴ ()
(10) (9)でとして、
∴
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