極限の公式 関連問題
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(1) 
(e：自然対数の底、
)
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
[証明](1) これは、このウェブ・サイトでは、eの定義ということにしておきます。
二項定理より、
(最後に正の値をもつ1項が増えていることに注意)
従って、数列
は単調増加な数列。 ･･･①
また、
従って、数列
は上に有界(限界があるという意味です)な数列。 ･･･②
①，②より、単調かつ有界な数列は極限値をもつという定理(高校の範囲外です)により、数列
は、
のとき収束して極限値をもちます。
その極限値を自然対数の底eと定義します。即ち、
eは、
で、無理数であることが知られています。
(2) 
として、
より、
各辺に1を加えてn乗しても不等号の向きは変わりません。
ここで、
とすると、
であって、右辺は、
左辺は、
よって、はさみうちの原理より、
(3) (2)において、
とくと、
のとき、
よって、
(4) (3)において、自然対数(eを底とする対数)を考えます。
のとき、
∴ 
(5) (4)において、
とおくと、
のとき、
よって、
∴ 
(6) 半径1の円周の長さは
と定義されています。
右図のように、円をn分割した扇形を上下互い違いに並べた図形を考えます。
この図形は、
とすると、縦が1，横が円周の長さの
(円周の長さが上下に分かれるから)，即ちπ?の長方形(面積はπ )に近づいていきます。
この図形はもともと円だったので、半径1の円の面積はπ ということになります。
今度は、右図のような頂角θ の扇形OABを考えます。明らかに、
です。
扇形OABの面積は、半径1の円の面積の
倍で、
です。
よって、
2をかけて、各辺の逆数を考えると、
∴ 
ここで、
とすると、左辺は、
よって、はさみうちの原理より、
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