極限の公式 関連問題
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(1)
(e:自然対数の底、
)
(2) ![](frmllimit.files/Eqn003.gif)
(3) ![](frmllimit.files/Eqn004.gif)
(4) ![](frmllimit.files/Eqn005.gif)
(5) ![](frmllimit.files/Eqn006.gif)
(6) ![](frmllimit.files/Eqn007.gif)
[証明](1) これは、このウェブ・サイトでは、eの定義ということにしておきます。
二項定理より、
![](frmllimit.files/Eqn008.gif)
![](frmllimit.files/Eqn009.gif)
![](frmllimit.files/Eqn010.gif)
![](frmllimit.files/Eqn011.gif)
![](frmllimit.files/Eqn012.gif)
![](frmllimit.files/Eqn013.gif)
(最後に正の値をもつ1項が増えていることに注意)
![](frmllimit.files/Eqn014.gif)
従って、数列
は単調増加な数列。 ・・・@
また、
![](frmllimit.files/Eqn016.gif)
![](frmllimit.files/Eqn017.gif)
![](frmllimit.files/Eqn018.gif)
![](frmllimit.files/Eqn019.gif)
従って、数列
は上に有界(限界があるという意味です)な数列。 ・・・A
@,Aより、単調かつ有界な数列は極限値をもつという定理(高校の範囲外です)により、数列
は、
のとき収束して極限値をもちます。
その極限値を自然対数の底eと定義します。即ち、
![](frmllimit.files/Eqn023.gif)
eは、
で、無理数であることが知られています。
(2)
として、
より、![](frmllimit.files/Eqn027.gif)
各辺に1を加えてn乗しても不等号の向きは変わりません。
![](frmllimit.files/Eqn028.gif)
ここで、
とすると、
であって、右辺は、![](frmllimit.files/Eqn031.gif)
左辺は、![](frmllimit.files/Eqn032.gif)
よって、はさみうちの原理より、![](frmllimit.files/Eqn033.gif)
(3) (2)において、
とくと、
のとき、![](frmllimit.files/Eqn036.gif)
よって、![](frmllimit.files/Eqn037.gif)
(4) (3)において、自然対数(eを底とする対数)を考えます。
のとき、![](frmllimit.files/Eqn039.gif)
∴ ![](frmllimit.files/Eqn040.gif)
(5) (4)において、
とおくと、![](frmllimit.files/Eqn042.gif)
のとき、![](frmllimit.files/Eqn044.gif)
よって、![](frmllimit.files/Eqn045.gif)
∴ ![](frmllimit.files/Eqn046.gif)
(6) 半径1の円周の長さは
と定義されています。
右図のように、円をn分割した扇形を上下互い違いに並べた図形を考えます。
この図形は、
とすると、縦が1,横が円周の長さの
(円周の長さが上下に分かれるから),即ちπ?の長方形(面積はπ )に近づいていきます。
この図形はもともと円だったので、半径1の円の面積はπ ということになります。
今度は、右図のような頂角θ の扇形OABを考えます。明らかに、
です。
扇形OABの面積は、半径1の円の面積の
倍で、
です。
よって、![](frmllimit.files/Eqn053.gif)
2をかけて、各辺の逆数を考えると、![](frmllimit.files/Eqn054.gif)
∴ ![](frmllimit.files/Eqn055.gif)
ここで、
とすると、左辺は、![](frmllimit.files/Eqn057.gif)
よって、はさみうちの原理より、![](frmllimit.files/Eqn058.gif)
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