二項定理　　　関連問題


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の展開において、の左側のからa，右側のからaをとってかけるととなり、左側のからa，右側のからbをとると，左側のからb，右側のからaをとると，左側のからb，右側のからbをとるとという項が得られます。
結局の展開からは、は2つのから0個のbを選ぶ組み合わせ個，は2つのから1個のbを選ぶ組み合わせ個，は2つのから2個のbを選ぶ組み合わせ個の項が出てくるので、となります。
同様にして、の展開において、の3つのから0個のbを選んでかければ，1個のbを選べば，2個のbを選べば，3個のbを選べばという項が得られるので、となります。

一般にの展開においては、n個のからk個()のbを選ぶときという項ができるので、という項は個できることになります。従って、以下の二項定理が成立します。
(1)
(2)
(1)は、Σ記号を使って書くと、となります。
(1)において、aをx，bを1とすれば、(2)が得られます。(2)をΣ記号を使って書くと、となります。

例．を展開したときのの項の係数を求めます。
の項は、7個のからを4個、を3個選んでかけると得られます。従って、個の項ができるので、この項は、となり、係数は、です。

なお、二項定理の応用を参照してください。







　　　･･････
の係数を並べた表を右上図に示します。これをパスカルの三角形と言います。
これは、右下図のように、を各nについて、として計算したものを並べたものです。
従って、右上図の左右の端は、になります。また、＼／の上2つの数を足すと下の数になります(パスカルの三角形を作るときはこの性質を利用して作ります)が、これは、公式：を意味しています。例えば、の段のとを加えると、となりますが、を意味しています。


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