正弦・余弦の加法定理 関連問題
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(複号同順)
(複号同順)
[証明] 原点Oを中心とする半径1の円周上に右図のように、2点A
，B
をとります(ここでは、
とします)。
2点A，B間の距離の2乗は、
･･･①
一方、
のとき、三角形AOBにおいて、余弦定理より、
･･･②
のときは、
より、
のときは、
より、
よって、②は、
より、
･･･③
のとき(
)は、ABは円の直径で明らかに
より、③を満たします。
よって、①，③より、
∴ 
･･･④
④は、
のときも、
，
より成立します。
従って、円周上にどのように2点A，Bをとっても(
，
)、④は成立します。
，
のとき、
が成立しますが、
α，β が一般角であって、n，mを整数として、
，
のとき、
より、
よって、一般角α，β についても、
･･･⑤
⑤において、β に
を代入すると、
･･･⑥
⑥において、αに
を代入すると(三角関数参照)、
∴ 
･･･⑦
⑦において、β に
を代入すると、
(証明終)
加法定理により、特殊な角の正弦・余弦の値が求められます。
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