三角関数 関連問題
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右図の、原点Oを中心とする半径rの円周上の点P
に対して、角θ はx軸から反時計回りに線分OPまで回転した角とする(時計回りに回るときには負の値とする)。
ここで、θ は、全実数をとりうるものとして、角θ は一般角で三角比を考えます。n周すると円周上の同じところに戻ってくるので、
(
)として、
とします。
従って、 ， (nは整数) |
が成り立ちます。
こうして、
，
を、全ての実数で定義された関数として考えることができます。
(
)，
(
)が定義できないので、nを整数として、
においては、
は定義できませんが、
を、
において定義される関数と考えることができます。
，
，
を総称して三角関数と言います。
三角関数の値については(三角比の拡張を参照)、
などとなっています。
右図の図1で、座標
の点をAとします。単位円(原点を中心とする半径1の円)の円周上の点P
の座標は、
とするとき、
，
となります。また、直線OPと直線：
(点Aでx軸と直交する直線)との交点をQとすると、
はQのy座標です。
注．つまり、
は直線OPの傾きです。一般に、直線：
とx軸正方向との間の角をθとして、
です。
円周上の点のx座標，y座標の正負を考えることにより、
，
，
の符号は、第1象限、第2象限、第3象限、第4象限で右図の図2，図3，図4のようになります。
また、
，
は円周上の点Pのx座標，y座標なので、最大値は1，最小値は
です。
，
は
から1までの全ての実数をとります。
は、θ が0から
まで変化すると、どんどん大きな値になって行きます。
θ が0から
まで変化すると、どんどん小さな値(負の値で、絶対値はどんどん大きくなる)になって行きます。
はすべての実数の値をとります。
円はx軸に関して対称なので、単位円の円周に沿って、点
から角θ 回った位置のx座標と、角
回った位置のx座標は同じです。よって、
これは、
という関数が偶関数(グラフがy軸に関して対称)であることを意味しています。
また、単位円の円周に沿って、点
から角θ 回った位置のy座標と、角
回った位置のy座標は、絶対値が等しく符号が逆です。よって、
これは、
という関数が奇関数(グラフが原点に関して対称)であることを意味しています。
より、
という関数は奇関数です。
これらより、
，
，
などとなります。
円はy軸に関して対称なので、単位円の円周に沿って、点
から角θ 回った位置のx座標と、点
から角
回った位置、つまり点
から
回った位置のx座標は、絶対値が等しく符号が逆です。よって、
また、単位円の円周に沿って、点
から角θ 回った位置のy座標と、点
から角
回った位置のy座標は同じです。よって、
右図のように、単位円の円周に沿って、点
から角θ 回った点
と、角
回った点
の座標を比べると、
，
という関係があります。
，
，
，
より、
右図のように、単位円の円周に沿って、点
から角θ 回った点
と、角
回った点
の座標を比べると、
，
という関係があります。
，
，
，
より、
三角比の拡張で取り上げた公式も含め、以上をまとめると、
類似の公式がいくつも作れますが、混乱の元になるので、覚えるのは上記のものだけにすること。
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