一橋大数学'07年前期[5]
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1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが1枚、･･･、nが書かれたカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。この組から1枚を抜き出し元にもどす操作を3回行う。抜き出したカードに書かれた数をa，b，cとするとき、得点Xを次の規則(i)，(ii)に従って定める。
(i) a，b，cがすべて異なるとき、Xはa，b，cのうちの最大でも最小でもない値とする。
(ii) a，b，cのうちに重複しているものがあるとき、Xはその重複した値とする。
をみたすkに対して、
となる確率を
とする。
(1) 
をnとkで表せ。
(2) 
が最大となるkをnで表せ。
解答 難しくはないのでケアレスに充分に注意したい問題です。試験会場で時間的な余裕があれば、
くらいで、
のときの確率
，
，
を確認しておきたいところです。
(1) 
となるのは、 3回のうちのどの回かにkを引き(確率
)、 (i) 残る2回のどちらもkを引く(確率
)、 あるいは、
(ii) 残る2回のどちらか1回でkを引き(確率
)、他の1回ではk以外のどれかのカードを引く(確率
)、 あるいは、
(iii) 残る2回のどちらか1回でkよりも小さいカードを引き(確率
)、他の1回ではkよりも大きなカードを引く(確率
)、 場合です。(ii)では、3回のうちどの回にk以外のカードを引くかが3通りあり、(iii)では、kよりも小さいカードと、kと、kよりも大きいカードをそれぞれ3回のうちどの回に引くかが
通りあります。
よって、求める確率
は、 
......[答]
(2) (1)の結果を平方完成すると、
・
が整数、つまり、nが奇数のときには、
は
のときに最大です。 ・
が整数にならないとき、つまり、nが偶数のときには、
に近い整数は、
と
になるので、
と
とを比較することになります。 より、
よって、
は
のときに最大です。 
を最大とするkは、
......[答]
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