一橋大数学'08年前期[1]


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kを正の整数とする。をみたす整数nが、ちょうど1個であるようなkをすべて求めよ。
解答　xの方程式：　･･･①　は、判別式Dについて、
のとき実数解をもちます(2次方程式の一般論を参照)。少なくとも、
　･･･②
であることが必要です。②の条件下で、①を解くと、
従って、題意を満たすためには、
　･･･③
の範囲に整数がちょうど1個存在するようにkを決めなければいけません。そのためには、③の範囲の幅が1以上であって、かつ、2未満である必要があります。
∴
これより、
，
∴
これをみたす正の整数kは、しかありません。
(i) のとき、③の範囲は、
となりますが、より、
，
従って、③をみたす整数は、のみで、ちょうど1個です。
(ii) のとき、③の範囲は、
より、③をみたす整数は、のみで、ちょうど1個です。
以上より、 ......[答]


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