2次方程式の一般論 関連問題
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2次方程式：
(
)を考えます。
平方完成すると、
のグラフは、
を軸とし、
を頂点とする放物線になります(2次関数参照)。
頂点のx座標，y座標を
，
とおきます。
，
です。
のグラフの頂点と、2次方程式：
の判別式：
との間には、
という関係があります。
i) 
のとき
・
ならグラフは下に凸で
を大きくして行くと、
の値は正の値としてどんどん大きくなっていきます。
なので、
のグラフはx軸と必ず2交点を持ちます。x軸との交点のx座標は2次方程式：
の解です。
のグラフは軸に関して対称なので、x軸との交点も軸に対して対称な位置に2個あります。
従って、
の解は、
に、ある正の値をプラス・マイナスしたものになり、
･･･① となります(解の公式)。
・
ならグラフは上に凸で
を大きくして行くと、
の値は負の値として絶対値がどんどん大きくなっていきます。
なので、
のグラフはx軸と必ず2交点を持ちます。
のときと同様に、この2交点は軸に関して対称で、
の解は、
に、ある正の値をプラス・マイナスしたものになり、
･･･① となります。
ii) 
のとき
となり、
のグラフはx軸と接するようになります。従って、
の解は1個(重解)
しかありません。
曲線と直線、あるいは、2曲線の交わり具合を考えるとき、両者の方程式を連立して2次方程式が得られるのであれば、2次方程式の判別式が0になることと、2曲線が接することとは同じ意味を持ちます(「同値」と言います)。
iii) 
のとき
・
なら
のグラフは下に凸で
より、グラフ上の全ての点はx軸よりも上にあって、グラフはx軸と共有点を持ちません。
・
なら
のグラフは上に凸で
より、グラフ上の全ての点はx軸よりも下にあって、グラフはx軸と共有点を持ちません。
従って、aの正負にかかわらず、
は実数解を持ちません。
2次関数
が定符号であることと、2次方程式
の判別式が負になることとは同じ意味(同値)を持ちます。
右図のように、
が
，
においてx軸と2交点A，Bを持つとき、
と因数分解されます。
①より、
，
だとして、2交点間の距離
(2次方程式
の2解の差)は、
のグラフの頂点をCとして、三角形ABCの高さ、即ち、Cとx軸との距離は、
これより、三角形ABCの面積は、
です。
特に、
の場合には、
，三角形ABCの面積は
となります。
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