一橋大数学'08年前期[2]
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3次方程式
は異なる3つの解p，q，rをもつ。さらに、
，
，
も同じ方程式の異なる3つの解である。a，b，c，p，q，rの組をすべて求めよ。
解答 いろいろなことが考えられます。例えば、3次方程式のxに、
，
を代入してみると、
，
次に、解と係数の関係から、
とすることも考えられますが、次数が高くなってやはり手に負えません。
文字数をふやさずに、かつ、次数が高くならないような、解法を探すことになります。
同じ3次方程式の3つの異なる解が、2つの別の形で与えられている、ということはどういうことかと言うと、
だとすると、
，
，
もそれぞれ、α，β，γ のどれかだということです。
これならば、3つの異なるものの順列の
通りの場合分けをすれば、文字数をふやさずに、かつ、次数を高くせずに調べることができそうです。
その際に、一つ考えたいのが、問題文のqとrを入れ替えて読んでも、問題の意味は変わらない、ということです。
「q，rの対称性より、
，
が求める組であれば、
，
も求める組になる」と書いて大丈夫だと思いますが、心配なら、場合分けするときに、
の場合を調べておけば、
の場合については、「先に調べた場合のqをrと入れ替えることにより、同様の結果となる」と書いておけば良いでしょう。
(1) 
のとき、 (i) 
，
のとき、 
となるので不適。(ii) 
，
のとき、 ∴ 
となるので不適。
結局、(1)はすべての場合に不適です。
(2) 
･･･① のとき、 (i) 
，
のとき、 また、
より、
(ii) 
，
のとき、 ①に代入して、
(3) 
のとき、(2)の場合でq，rを入れ替えることにより、 a，b，cは(2)(i)の場合の値と同じ。
a，b，cは(2)(ii)の場合の値と同じ。
以上より、
，
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，
，
のとき、
となるため不適。
のとき、
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，
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，
，
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......[答]