一橋大数学'09年前期[4]
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一辺の長さが2の正三角形ABCを平面上におく。△ABCを1つの辺に関して
折り返すという操作を繰り返し行う。辺BCに関する折り返しを
，辺CAに関する折り返しを
，辺ABに関する折り返しを
とする。△ABCは、最初3点A，B，Cがそれぞれ平面上の3点O，
，
の上に置かれているとする。
(1) 
，
，
，
，
の順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をPとする。また、
，
，
，
，
，
，
の順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をQとする。
とするとき、
の値を求めよ。 (2) 整数k，
に対して、
により定められる点Rは、
，
，
の折り返し操作を組み合わせることにより、点Aの移り先になることを示せ。
解答 一橋大としては珍しいタイプの出題なので、一橋大受験生は面食らったかも知れませんが、理系の問題としてはしばしば見かけるパズル問題です。
，
，
，
，
の順に折り返し操作を施すと、AはOから右図のPに移ります。
，
，
，
，
，
，
の順に折り返し操作を施すと、Aは右図のQに移ります。
，
とおくと、
より、 より、
∴ 
より、
∴ 
です。
なので、
∴ 
......[答]
(2) (1)に出てくる折り返し操作で、
，
，
，
という順に操作を行うとAは、となる点
に移ります。この操作をk回繰り返せば、Aは、 となる点
に移ります。同様に、
，
，
，
という順に操作を行うとAは、 となる点
に移ります。この操作を
回繰り返せば、Aは、 となる点
に移ります。
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(1) 
，
，
は右図のような操作です。
では、操作前後のAの位置はBCに関して対称です。
，
，
，
という順の操作をk回行い、続けて、
，
，
，
という順の操作を
回行うことにより、Aは、点Rに移ります。従って、整数k，
に対して、
により定められる点Rは、
，
，
の折り返し操作を組み合わせることにより、点Aの移り先になります。
